Calculadora de matrices
En un contexto matemático, una matriz es una matriz rectangular de números, símbolos o expresiones dispuestos en filas y columnas. Las matrices se utilizan a menudo en campos científicos como la física, la computación gráfica, la teoría de la probabilidad, la estadística, el cálculo, el análisis numérico, etc.
dimensiones de la matriz, por ANormalmente se indica como M × N. Esto significa que por A -sí, sí El M Está bien y El N columnas. Cuando se hace referencia a valores específicos en una matriz (llamados elementos), a menudo se utilizan variables con dos subíndices para indicar la posición de cada elemento en la matriz. Por ejemplo, dado El AYo, J.¿Dónde está i = 1 y J = 3, El Apor 1, 3 es el valor del elemento de la tercera columna de la primera fila de la matriz dada.
operaciones de matriz, como sumar, multiplicar, restar, etc. Es similar a lo que la mayoría de la gente puede estar acostumbrada a ver en aritmética básica y álgebra, pero es diferente en algunos aspectos y está sujeto a ciertas limitaciones. A continuación se describen las operaciones de matriz que esta calculadora puede realizar.
Matrícula añadida
La adición de matrices solo se puede realizar en matrices del mismo tamaño. Esto significa que sólo se puede agregar una matriz si ambas matrices son M × N. Por ejemplo, puede agregar dos o más 3 × 3, 1 × 2, o 5 × 4 La matriz. No puedes añadir 2 × 3 Con una 3 × 2 La matriz a 4 × 4 Con una 3 × 3espera. El número de filas y columnas de todas las matrices agregadas debe coincidir exactamente.
Si el tamaño de la matriz es el mismo, se realiza la suma de la matriz agregando los elementos correspondientes de la matriz. Por ejemplo, si tenemos dos matrices, por A y El BCon elementos. El AYo, J., y El BYo, J.Agregue la matriz agregando cada elemento y luego coloque el resultado en la nueva matriz, El Cen la posición correspondiente de la matriz:
En la matriz mencionada, El Apor el 1,1 = 1; El ALos 1,2 = 2; El Bpor el 1,1 = 5; El BLos 1,2 = 6; Espera, espera. Añadimos los elementos correspondientes para obtener El CYo, J.. Agrega los valores de las filas y columnas correspondientes:
| El Apor el 1,1 + b)por el 1,1 = 1 + 5 = 6 = cpor el 1,1 |
| El ALos 1,2 + b)Los 1,2 = 2 + 6 = 8 = cLos 1,2 |
| El ALos 2, 1 + b)Los 2, 1 = 3 + 7 = 10 = cLos 2, 1 |
| El ALos 2,2 + b)Los 2,2 = 4 + 8 = 12 = cLos 2,2 |
Por lo tanto, la matriz El C Sí:
Reducción de la matriz
La sustracción de la matriz se realiza básicamente de la misma manera que la suma de la matriz mencionada anteriormente, excepto que los valores se restan en lugar de sumar. Si es necesario, consulte la información y los ejemplos anteriores para obtener una descripción de los símbolos utilizados en los ejemplos siguientes. Al igual que la suma de la matriz, la matriz de la operación de sustracción debe tener el mismo tamaño. Si el tamaño de la matriz es el mismo, se realiza la sustracción de la matriz restando los elementos de las filas y columnas correspondientes:
| El Apor el 1,1 -B.por el 1,1 = 1 - 5 = -4 = cpor el 1,1 |
| El ALos 1,2 -B.Los 1,2 = 2 - 6 = -4 = cLos 1,2 |
| El ALos 2, 1 -B.Los 2, 1 = 3 - 7 = -4 = cLos 2, 1 |
| El ALos 2,2 -B.Los 2,2 = 4 - 8 = -4 = cLos 2,2 |
Por lo tanto, la matriz El C Sí:
| C = | |
| -cuatro | -cuatro |
| -cuatro | -cuatro |
| |
|---|
|
Multiplicación de la matriz
Multiplicación escalar:
Al multiplicar cada elemento de la matriz por el escalar, se puede multiplicar la matriz por el valor escalar. Por ejemplo, una matriz por A y un indicador. El C:
Los productos El C y por A Sí:
Matrícula - Multiplicación de la matriz:
La multiplicación de dos (o más) matrices es más complicada que la multiplicación escalar. Para multiplicar dos matrices, el número de columnas en la primera matriz debe coincidir con el número de filas en la segunda matriz. Por ejemplo, usted puede tomar una 2 × 3 Matrícula multiplicada por a 3 × 4 La matriz, pero no 2 × 3 Matrícula multiplicada por a cuatro. × 3.
Se puede multiplicar:
| A = | |
| El Apor el 1,1 | El ALos 1,2 | El Apor 1, 3 |
| El ALos 2, 1 | El ALos 2,2 | El ALos dos y tres |
| |
|---|
|
; b = | |
| El Bpor el 1,1 | El BLos 1,2 | El Bpor 1, 3 | El BLos 1,4 |
| El BLos 2, 1 | El BLos 2,2 | El BLos dos y tres | El BEl 2,4 |
| El BLos 3, 1 | El BLos 3, 2 | El Bpor 3, 3 | El Bpor 3, 4 |
| |
|---|
|
No se puede multiplicar:
| A = | |
| El Apor el 1,1 | El ALos 1,2 | El Apor 1, 3 |
| El ALos 2, 1 | El ALos 2,2 | El ALos dos y tres |
| |
|---|
|
; b = | |
| El Bpor el 1,1 | El BLos 1,2 | El Bpor 1, 3 |
| El BLos 2, 1 | El BLos 2,2 | El BLos dos y tres |
| El BLos 3, 1 | El BLos 3, 2 | El Bpor 3, 3 |
| El BLos 4, 1 | El BLos 4, 2 | El BLos 4, 3 |
| |
|---|
|
Observe que cuando la matriz se multiplica, A × B No necesariamente igual B × A. De hecho, sólo porque por A Se puede multiplicar El B No significa que El B Se puede multiplicar por A.
Si el tamaño de la matriz es correcto y se puede multiplicar, la matriz se multiplica realizando el producto de puntos. El producto de puntos consiste en multiplicar el elemento correspondiente en la fila de la primera matriz por el elemento correspondiente en la columna de la segunda matriz, y luego sumar el resultado para obtener un valor. El producto de puntos solo se puede realizar en secuencias de igual longitud. Es por eso que el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz.
Luego, el producto de puntos se convierte en los valores en las filas y columnas correspondientes de la nueva matriz, El C. Por ejemplo, de la matriz multiplicable anterior, la línea azul en por A Multiplicar la columna azul. El B Determina el valor de la primera columna de la primera fila de la matriz El C. Esto se conoce como el producto de la línea 1 por A Y en la columna 1 El B:
El Apor el 1,1× bpor el 1,1 + A.Los 1,2× bLos 2, 1 + A.por 1, 3× bLos 3, 1 = por cpor el 1,1
Ejecución de puntos en cada línea por A Cada columna El B Hasta que todas las combinaciones de los dos se completen para encontrar el valor del elemento correspondiente en la matriz El C. Por ejemplo, cuando realiza el producto de puntos de la línea 1 por A Y en la columna 1 El BEl resultado será El Cpor el 1,1 de la matriz. El C. El producto de la línea 1 por A y la segunda columna El B Será El CLos 1,2 de la matriz. El CPor ejemplo, como se muestra en el siguiente ejemplo:
| A = | | ; b = | |
| 5 | 6 | uno. | uno. |
| siete. | 8 | uno. | uno. |
| uno. | uno. | uno. | uno. |
| |
|---|
|
En este caso, cuando se multiplican dos matrices, el número de filas de la matriz resultante será el mismo que el número de filas de la primera matriz. por Ay el mismo número de columnas que la segunda matriz, El B. porque por A sí, sí 2 × 3 y El B sí, sí 3 × cuatro., El C Será una 2 × cuatro. La matriz. Los colores aquí ayudan, en primer lugar, a determinar si dos matrices se pueden multiplicar y, en segundo lugar, a determinar las dimensiones de la matriz resultante. A continuación, podemos determinar el valor del elemento. El C Ejecutando el producto de puntos para cada fila y columna, de la siguiente manera:
| C = | |
| 20 | 23 | cuatro. | cuatro. |
| 44 | 51 | 8 | 8 |
| |
|---|
|
El producto de puntos de cada fila y columna se calcula de la siguiente manera El C Mostrar como:
| El Cpor el 1,1 = 1 × 5 + 2 × 7 + 1 × 1 = 20 |
| El CLos 1,2 = 1×6 + 2×8 + 1×1 = 23 |
| El Cpor 1, 3 = 1 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 4 |
| El CLos 1,4 = 1 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 4 |
| El CLos 2, 1 = 3 × 5 + 4 × 7 + 1 × 1 = 44 |
| El CLos 2,2 = 3 × 6 + 4 × 8 + 1 × 1 = 51 |
| El CLos dos y tres = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8 |
| El CEl 2,4 = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8 |
entropía de la matriz.
Para esta calculadora, "entropía de la matriz" se refiere a la entropía de la matriz dada. Por ejemplo, cuando se utiliza una calculadora, dado el "potasio de 2" de la matriz, por AEsto significa por A2. Además de la regla de la multiplicación de la matriz también se aplica, el exponente de la matriz funciona de la misma manera que la función normal en matemáticas, por lo que solo las matrices cuadradas (matrizes con el mismo número de filas y columnas) se pueden elevar a la entropía. Esto se debe a que la matriz no cuadrada, por ANo se puede multiplicar con sí mismo. A × AEn este caso, no se puede calcular. Si es necesario, consulte la sección Multiplicación de matrices para revisar cómo se realiza la multiplicación de matrices. Teniendo en cuenta:
por A 2 La entropía es:
Al igual que los índices en otros contextos matemáticos, por A3Será igual a A × A × A, por Acuatro. Será igual a A × A × A × A—¡Espera, espera!
Transferencia de la matriz
La transposición de la matriz (generalmente representada por una "T" como un exponente) es una operación de voltear la matriz en la diagonal de la matriz. Esto conduce a intercambiar los índices de filas y columnas de la matriz, lo que significa El ADentro del cuello en la matriz. por Aconvertirse en El Anervioso (acrónimo de Jittery). en el por AEl T. Si es necesario, consulte la descripción anterior de los símbolos utilizados.
uno; una M × N La matriz, la transferencia, por lo tanto, se convertirá n × m Matrices como se muestra en el siguiente ejemplo:
| A = | |
| por AEl T = El | |
| b = | |
| 20 | 23 | cuatro. | cuatro. |
| 44 | 51 | 8 | 8 |
| |
|---|
|
| El BEl T = El | |
| 20 | 44 |
| 23 | 51 |
| cuatro. | 8 |
| cuatro. | 8 |
| |
|---|
|
Líneas de la matriz
La matriz es un valor que se puede calcular a partir de los elementos de la matriz. Se utiliza en álgebra lineal, cálculo y otros contenidos matemáticos. Por ejemplo, la fórmula de línea se puede utilizar para calcular la matriz inversa de una matriz o para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Existen muchos métodos y fórmulas para calcular la matriz. La fórmula de Leibniz y la fórmula de Laplace son dos fórmulas comunes.
Estructura de la matriz 2 × 2:
Clasificación de A 2 × 2 Las matrices se pueden calcular utilizando la fórmula de Leibniz, que implica algunas aritmética básica. dada la matriz. por A:
Las filas por A La fórmula de Leibniz es:
| |a|= | | = antes de Cristo - antes de Cristo |
Tenga en cuenta que las fórmulas de columnas generalmente se representan con "| |" alrededor de la matriz dada. Teniendo en cuenta:
| |a|= | | = El | 2×8 – 4×6 | = El | El ocho |
La matriz de 3 × 3:
Una forma de calcular la clasificación es 3 × 3 La matriz se obtiene utilizando la fórmula de Laplace. La fórmula de Laplace y la fórmula de Leibniz pueden expresarse matemáticamente, pero se trata del uso de símbolos y conceptos que no se discuten aquí. Aquí hay un ejemplo de cómo usar la fórmula de Laplace para calcular la fórmula de a. 3 × 3 La matriz:
| |a|= |
| El A | El B | El C |
| El D | El E | El F |
| El G | El H | yo. |
|
| = El |
|
A partir de esto, podemos usar la fórmula de Leibniz para calcular a 2 × 2 La matriz se utiliza para calcular la matriz de 2 × 2, ya que la multiplicación escalar de la matriz simplemente multiplica todos los valores de la matriz por la escalar, por lo que podemos 2 × 2 La escala se representa de la siguiente manera:
| |a|= |
| El A | El B | El C |
| El D | El E | El F |
| El G | El H | yo. |
|
| = El |
a (ei-FH) - b (di-fg) + c (DH-eg)
|
Esto se puede simplificar aún más a:
|A| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
Es la fórmula de Leibniz. 3 × 3 La matriz.
4 × 4 matrizes y matrices superiores:
Clasificación de A 4 × 4 Matrizes y métodos de cálculo más avanzados 3 × 3Utilice la fórmula de Laplace o la fórmula de Leibniz. Igual que el ejemplo anterior. 3 × 3 Matriz, es posible que haya notado un patrón que le permite "simplificar" una matriz dada a una escala multiplicada por la matriz de dimensiones decrecientes, es decir 4 × 4 Se reduce a una serie de escalas multiplicadas por 3 × 3 La matriz, donde cada par de seguimiento Escalar × matriz simplificada Los signos positivos y negativos se alternan (es decir, los signos positivos y negativos se suman o se restan).
El proceso consiste en recorrer cada elemento de la primera fila de la matriz. En última instancia, obtendremos una expresión en la que cada elemento de la primera línea se multiplica por una matriz de baja dimensión (inferior a la matriz original). Los elementos de la matriz de baja dimensión se determinan mediante el bloqueo de las filas y columnas a las que pertenece el escalar seleccionado, y los elementos restantes forman la matriz de baja dimensión. Por favor, consulte el siguiente ejemplo para ilustrarlo.
Primero seleccionamos los elementos. El A. Los elementos azules son escalares. El Ay se convertirá 3 × 3 Necesitamos encontrar la matriz:
| |a|= |
| El A | El B | El C | El D |
| El E | El F | El G | El H |
| yo. | El J | El K | El L |
| El M | El N | El o | El P |
|
| = El |
| El A |
| El F | El G | El H |
| El J | El K | El L |
| El N | El o | El P |
| - ¿qué |
|
A continuación, elegimos los elementos. El B:
| El A | El B | El C | El D |
| El E | El F | El G | El H |
| yo. | El J | El K | El L |
| El M | El N | El o | El P |
| y rArr |
| El B |
| El E | El G | El H |
| yo. | El K | El L |
| El M | El o | El P |
|
|
Continuar con los elementos de la misma manera El C y El Dy alternar el signo (- + - ...) para cada término:
| |a|= |
| El A | El B | El C | El D |
| El E | El F | El G | El H |
| yo. | El J | El K | El L |
| El M | El N | El o | El P |
|
|
| = El
El A |
| El F | El G | El H |
| El J | El K | El L |
| El N | El o | El P |
|
-B. |
| El E | El G | El H |
| yo. | El K | El L |
| El M | El o | El P |
|
+ C. |
| El E | El F | El H |
| yo. | El J | El L |
| El M | El N | El P |
|
- El D |
| El E | El F | El G |
| yo. | El J | El K |
| El M | El N | El o |
|
|
Continuaremos este proceso. 3 × 3 La matriz (como se muestra arriba) hasta que reducimos 4 × 4 Conversión de la matriz en escala multiplicada por 2 × 2 La matriz, en la que podemos calcular la fórmula de Leibniz. Como se puede ver, esto se vuelve aburrido rápidamente, pero es un tipo de n × n Una vez que hayas comprendido el modelo. Existen otros métodos para calcular la matriz de forma más eficiente, pero se requiere la comprensión de otros conceptos y símbolos matemáticos.
La inversa de la matriz
La matriz inversa de la matriz por A expresado como por A- 1 -¿Dónde está por A- 1 - Sí, la palabra contraria. por A Si es verdad lo siguiente:
A × A- 1 - = por A- 1 -× A = I, donde yo. Matriz de unidades.
Matriz de identidad:
La matriz de unidad es una matriz cuadrada con un "1" en la diagonal y un "0" en todo el resto. La matriz de unidades es la matriz equivalente del número "1". Por ejemplo, el número 1 se multiplica por cualquier número. El N igual a El N. Lo mismo ocurre con la matriz de unidad multiplicada por la matriz del mismo tamaño: A × I = A. Tenga en cuenta que la matriz de unidad puede tener cualquier dimensión cuadrada. Por ejemplo, todas las matrices siguientes son matrices de unidades. De izquierda a derecha es 2 × 2, 3 × 3, y 4 × 4 Matriz de identidad:
| ; | | ; | |
| uno. | 0 | 0 | 0 |
| 0 | uno. | 0 | 0 |
| 0 | 0 | uno. | 0 |
| 0 | 0 | 0 | uno. |
| |
|---|
| ¿qué |
esto n × n Por lo tanto, la matriz de unidades es:
| yo.El N = El | |
| uno. | 0 | 0 | ¿qué | 0 |
| 0 | uno. | 0 | ¿qué | 0 |
| 0 | 0 | uno. | ¿qué | 0 |
| ¿qué | ¿qué | ¿qué | ¿qué | ¿qué |
| 0 | 0 | 0 | ¿qué | uno. |
| |
|---|
|
La matriz inversa de la matriz 2 × 2:
Invertir una 2 × 2 La matriz se puede utilizar con la siguiente ecuación:
| por A- 1 - = El | |
| = El |
|
| = El |
| uno. | | | | | A.C. - Antes de Cristo |
|
Por ejemplo, supongamos:
| por A- 1 - = El |
|
| = El |
|
| = El |
|
Si vas a probar esto es en realidad por A Encontrarás ambos:
Es igual a la matriz de unidades:
La matriz inversa de la matriz 3 × 3:
El recuento de a 3 × 3 El cálculo de la matriz es más complicado. A continuación se proporciona una fórmula de cálculo, pero no se realiza el cálculo. Teniendo en cuenta:
| El m = | |
| El A | El B | El C |
| El D | El E | El F |
| El G | El H | yo. |
| |
|---|
|
| El M- 1 - = El | | |
| por A | El B | El C |
| El D | y el | El F |
| El G | El H | yo. |
| |
|---|
| El T |
|
| = El |
| |
| por A | El D | El G |
| El B | y el | El H |
| El C | El F | yo. |
| |
|---|
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Entre ellos:
por A= ei-FH; El B= (di-fg); El C=DH-EG
El D= - (bi-ch); y el= AI-CG; El F= (ah-BG)
El G= BF-ce; El H= (af-CD); yo.=AE-BD
4 × 4 Cada vez más complejos, hay otras maneras de calcularlos.
