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Calculateur de matrice

Dans un contexte mathématique, une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, de symboles ou d'expressions disposés par lignes et colonnes. Les matrices sont souvent utilisées dans des domaines scientifiques tels que la physique, l'informatique, la théorie de la probabilité, les statistiques, le calcul, l'analyse numérique, etc.

Les dimensions de la matrice, A àIl est généralement indiqué comme M × N. Cela signifie A à oui. à M OK et à n colonne. Lorsque vous faites référence à une valeur spécifique dans une matrice, appelée un élément, une variable avec deux indices est généralement utilisée pour indiquer la position de chaque élément dans la matrice. Par exemple, donnée A à_{Moi, J}Mais où est-ce I = 1 et J = 3, A à_{1 à 3} est la valeur des éléments de la troisième colonne de la première ligne de la matrice donnée.

Opérations de matrice telles que l'addition, la multiplication, la soustraction, etc. Similaire à ce que la plupart des gens sont peut-être habitués à voir en arithmétique de base et en algèbre, mais il est différent à certains égards et soumis à certaines restrictions. Voici une description des opérations de matrice que cette calculatrice peut effectuer.

Matrice additionnelle

L'addition de matrice ne peut être effectuée que sur une matrice de la même taille. Cela signifie que vous ne pouvez ajouter une matrice que si les deux matrices sont M × N. Vous pouvez ajouter deux ou plus 3 × 3, 1 × 2, ou 5 × 4 Matrice. Vous ne pouvez pas ajouter 2 × 3 Avec un 3 × 2 Matrice A 4 × 4 Avec un 3 × 3à attendre. Le nombre de lignes et de colonnes de toutes les matrices ajoutées doit correspondre exactement.

Si la taille de la matrice est la même, l'addition de la matrice est effectuée en ajoutant les éléments correspondants de la matrice. Par exemple, avec deux matrices, A à et B àavec des éléments. A à_{Moi, J}, et B à_{Moi, J}Ajoutez la matrice en ajoutant chaque élément, puis placez le résultat dans la nouvelle matrice, à Cà la position correspondante dans la matrice :

A =

Un.	2
3	Quatre.

； B =

5	6
sept.	8

Dans la matrice susmentionnée, A à_{1 à 1} = 1； A à_{1 et 2} = 2； B à_{1 à 1} = 5； B à_{1 et 2} = 6； attendez. Nous ajoutons les éléments correspondants pour obtenir à C_{Moi, J}. Ajoutez les valeurs des lignes et colonnes correspondantes :

A à_{1 à 1} + B_{1 à 1} = 1 + 5 = 6 = c_{1 à 1}

A à_{1 et 2} + B_{1 et 2} = 2 + 6 = 8 = c_{1 et 2}

A à_{Deux, un} + B_{Deux, un} = 3 + 7 = 10 = c_{Deux, un}

A à_{Deux, deux} + B_{Deux, deux} = 4 + 8 = 12 = c_{Deux, deux}

Par conséquent, la matrice à C Oui :

C =

6	8
10	12

Soustraction de la matrice

La soustraction de la matrice est réalisée de la même manière que l'addition de la matrice ci-dessus, sauf que les valeurs sont soustractables plutôt que additionnelles. Si nécessaire, consultez les informations et les exemples ci-dessus pour les descriptions des symboles utilisés dans les exemples suivants. Comme l'addition de la matrice, la matrice soustrait doit avoir la même taille. Si la taille de la matrice est la même, la soustraction de la matrice est effectuée en soustrayant les éléments des lignes et colonnes correspondantes :

A =

Un.	2
3	Quatre.

； B =

5	6
sept.	8

A à_{1 à 1} - B._{1 à 1} = 1 - 5 = -4 = c_{1 à 1}

A à_{1 et 2} - B._{1 et 2} = 2 - 6 = -4 = c_{1 et 2}

A à_{Deux, un} - B._{Deux, un} = 3 - 7 = -4 = c_{Deux, un}

A à_{Deux, deux} - B._{Deux, deux} = 4 - 8 = -4 = c_{Deux, deux}

Par conséquent, la matrice à C Oui :

C =

- quatre	- quatre
- quatre	- quatre

Multiplication de matrice

Multiplication échelle :

En multipliant chaque élément de la matrice par une échelle, vous pouvez multiplier la matrice par une valeur scalaire. Par exemple, une matrice A à et une échelle. à C:

A =

Un.	2
3	Quatre.

； C = 5

Les produits à C et A à Oui :

5 ×

Un.	2
3	Quatre.

= à

5	10
15	20

Matrice - Multiplication de la matrice :

La multiplication de deux (ou plus) matrices est plus complexe que la multiplication scalaire. Pour multiplier deux matrices, le nombre de colonnes dans la première matrice doit correspondre au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Par exemple, vous pouvez prendre un 2 × 3 Matrice multipliée par a 3 × 4 Matrice, mais non. 2 × 3 Matrice multipliée par a Quatre. × 3.

Peut être multiplié :

A =

A à_{1 à 1}	A à_{1 et 2}	A à_{1 à 3}
A à_{Deux, un}	A à_{Deux, deux}	A à_{Deux, trois}

； B =

B à_{1 à 1}	B à_{1 et 2}	B à_{1 à 3}	B à_{1 à 4}
B à_{Deux, un}	B à_{Deux, deux}	B à_{Deux, trois}	B à_{Les 2,4}
B à_{3, 1}	B à_{3, 2}	B à_{Trois, trois}	B à_{3, 4}

Impossible de multiplier :

A =

A à_{1 à 1}	A à_{1 et 2}	A à_{1 à 3}
A à_{Deux, un}	A à_{Deux, deux}	A à_{Deux, trois}

； B =

B à_{1 à 1}	B à_{1 et 2}	B à_{1 à 3}
B à_{Deux, un}	B à_{Deux, deux}	B à_{Deux, trois}
B à_{3, 1}	B à_{3, 2}	B à_{Trois, trois}
B à_{4, 1}	B à_{4, 2}	B à_{4, 3}

Attention, lorsque la matrice est multipliée, A × B Pas forcément égale B × A. En fait, uniquement parce que A à peut être multiplié B à Cela ne signifie pas B à peut être multiplié A à.

Si la taille de la matrice est correcte et peut être multipliée, la matrice est multipliée en exécutant le produit des points. Le produit de points consiste à multiplier l'élément correspondant dans la première ligne de la matrice par l'élément correspondant dans la colonne de la deuxième matrice, puis à additionner le résultat pour obtenir une valeur. Le produit de points ne peut être effectué que sur des séquences de même longueur. C'est pourquoi le nombre de colonnes de la première matrice doit correspondre au nombre de lignes de la deuxième matrice.

Le produit des points devient alors la valeur correspondante dans les lignes et les colonnes de la nouvelle matrice, à C. Par exemple, à partir de la matrice multipliable ci-dessus, la ligne bleue dans A à Multipliez les colonnes bleues. B à Déterminer la valeur de la première colonne de la première ligne de la matrice à C. Ceci est appelé le produit des points de la ligne 1. A à et de la colonne 1 B à:

A à_{1 à 1}× b_{1 à 1} + A_{1 et 2}× b_{Deux, un} + A_{1 à 3}× b_{3, 1} = C_{1 à 1}

Exécution de points sur chaque ligne A à Chaque colonne B à Jusqu'à ce que toutes les combinaisons des deux soient terminées afin de trouver la valeur de l'élément correspondant dans la matrice à C. Par exemple, lorsque vous exécutez le produit des points de la ligne 1 A à et de la colonne 1 B àLe résultat sera à C_{1 à 1} à la matrice. à C. Le résultat de la ligne 1 A à et la colonne 2 B à sera à C_{1 et 2} à la matrice. à CEt ainsi de suite, comme le montre l'exemple suivant :

A =

Un.	2	Un.
3	Quatre.	Un.

； B =

5	6	Un.	Un.
sept.	8	Un.	Un.
Un.	Un.	Un.	Un.

Dans ce cas, lorsque deux matrices sont multipliées, le nombre de lignes de la matrice résultante sera le même que le nombre de lignes de la première matrice. A àet le même nombre de colonnes que la deuxième matrice, B à. Parce que A à oui. 2 × 3 et B à oui. 3 × Quatre., à C Ce sera un 2 × Quatre. Matrice. Les couleurs ici aident d'abord à déterminer si deux matrices peuvent être multipliées et ensuite à déterminer le nombre de dimensions de la matrice résultante. Ensuite, nous pouvons déterminer la valeur des éléments à C En effectuant le produit des points pour chaque ligne et chaque colonne, comme suit:

C =

20	23	Quatre.	Quatre.
44	51	8	8

Le résultat de chaque ligne et colonne est calculé comme suit à C Affiché comme :

à C_{1 à 1} = 1 × 5 + 2 × 7 + 1 × 1 = 20

à C_{1 et 2} = 1 × 6 + 2 × 8 + 1 × 1 = 23

à C_{1 à 3} = 1 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 4

à C_{1 à 4} = 1 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 4

à C_{Deux, un} = 3 × 5 + 4 × 7 + 1 × 1 = 44

à C_{Deux, deux} = 3 × 6 + 4 × 8 + 1 × 1 = 51

à C_{Deux, trois} = 3 × 1 + 4 × 1 + 1 × 1 = 8

à C_{Les 2,4} = 3 × 1 + 4 × 1 + 1 × 1 = 8

L'entropie de la matrice

Pour cette calculatrice, "l'entropie de la matrice" se réfère à l'entropie de la matrice donnée. Par exemple, lors de l'utilisation de la calculatrice, donnant la matrice de « puissance 2 », A àCela signifie A à². En plus de la règle de la multiplication de la matrice, la fonction de l'exponentiel de la matrice est la même que la fonction normale en mathématiques, de sorte que seules les matrices carrées (matrices avec le même nombre de lignes et de colonnes) peuvent être élevées à la puissance. C'est parce que la matrice non carrée, A àIl ne peut pas se multiplier par lui-même. A × ADans ce cas, il est impossible de calculer. Si nécessaire, reportez-vous à la section Multiplication de matrice pour examiner comment effectuer la multiplication de matrice. Compte tenu :

A =

Un.	3
2	Un.

A à 2 L'entropie est :

A à² = à

Un.	3
2	Un.

= à

Un.	3
2	Un.

Un.	3
2	Un.

= à

sept.	6
Quatre.	sept.

Comme dans les autres contextes mathématiques, A à³sera équivalent A × A × A, A à^Quatre. sera égal à A × A × A × A— Attends, attendez.

La matrice se transforme

La transposition de la matrice (généralement représentée par un "T" comme un exponentiel) est une opération qui renverse la matrice sur la diagonale de la matrice. Cela conduit à l'échange des index de ligne et de colonne de la matrice, ce qui signifie A à_{Intérieur du cou} dans la matrice. A àdevient A à_{nerveux (abréviation de jittery)} dans A à^{T à T}. Si nécessaire, veuillez vous référer à la description des symboles utilisés ci-dessus.

1 à ; un M × N La matrice, transférée, deviendra donc N × m Matrice, comme dans l'exemple suivant :

A =

Un.	3
2	Un.

A à^{T à T} = à

Un.	2
3	Un.

B =

20	23	Quatre.	Quatre.
44	51	8	8

B à^{T à T} = à

20	44
23	51
Quatre.	8
Quatre.	8

Les lignes de la matrice

La matrice est une valeur qui peut être calculée à partir des éléments de la matrice. Il est utilisé pour l'algèbre linéaire, le calcul et d'autres contenus mathématiques. Par exemple, la formule linéaire peut être utilisée pour calculer la matrice inverse d'une matrice ou pour résoudre un ensemble d'équations linéaires.

Il existe de nombreuses méthodes et formules pour calculer les matrices. La formule de Leibniz et la formule de Laplace sont deux formules couramment utilisées.

Les matrices 2 × 2 :

Le classement de A 2 × 2 Les matrices peuvent être calculées en utilisant la formule de Leibniz, ce qui implique quelques arithmétiques de base. donnée à la matrice. A à:

A =

A à	B à
à C	à D

Les lignes A à L'utilisation de la formule de Leibniz est:

|a|=

A à	B à
à C	à D

= avant J.-C.

Notez que les colonnes sont généralement représentées par un « | | » autour d'une matrice donnée. Compte tenu :

A =

2	Quatre.
6	8

|a|=

2	Quatre.
6	8

= à

2 × 8 - 4 × 6

= à

- huit

3 × 3 matrices :

Une méthode de calcul est 3 × 3 La matrice est obtenue en utilisant la formule de Laplace. La formule de Laplace et la formule de Leibniz peuvent être exprimées mathématiquement, mais l'utilisation de symboles et de concepts n'est pas abordée ici. Voici un exemple de la façon d'utiliser la formule de Laplace pour calculer la formule de la colonne de a 3 × 3 Matrice :

|a|=

A à	B à	à C
à D	et à	à F
G à G	à H	je

= à

A à

et à	à F
à H	je

- B.

à D	à F
G à G	je

+ C

à D	et à
G à G	à H

À partir de ce point, nous pouvons utiliser la formule de Leibniz pour calculer a 2 × 2 La matrice est utilisée pour calculer l'arrangement de la matrice 2 × 2, puisque la multiplication scalaire de la matrice multiplie simplement toutes les valeurs de la matrice par l'échelle, nous pouvons donc 2 × 2 L'échelle est représentée comme suit :

|a|=

A à	B à	à C
à D	et à	à F
G à G	à H	je

= à

a (ei-FH) - b (di-fg) + c (DH-eg)

Cela peut être encore simplifié à :

|A| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

C'est la formule de Leibniz. 3 × 3 Matrice.

Les matrices 4 × 4 et les matrices supérieures :

Le classement de A 4 × 4 Matrices et méthodes de calcul plus avancées 3 × 3Utilisez la formule de Laplace ou la formule de Leibniz. Comme dans l'exemple ci-dessus. 3 × 3 La matrice, vous remarquerez peut-être un modèle qui vous permet de «simpliquer» une matrice donnée en un nombre scalaire multiplié par la matrice de dimension réduite, c'est-à-dire 4 × 4 est réduite à une série de nombres multipliés par 3 × 3 La matrice, où chaque paire de suivi Scalar × matrice simplifiée Les signes positifs et négatifs changent en alternance (c'est-à-dire que les signes positifs et négatifs sont ajoutés ou soustraits).

Le processus consiste à parcourir chaque élément de la première ligne de la matrice. En fin de compte, nous obtiendrons une expression dans laquelle chaque élément de la première ligne sera multiplié par une matrice de faible dimension (inférieure à la matrice d'origine). Les éléments de la matrice de basse dimension sont déterminés en masquant les lignes et les colonnes auxquelles le scalaire sélectionné appartient, et les autres éléments constituent la matrice de basse dimension. Veuillez consulter les exemples ci-dessous pour illustrer.

Nous choisissons d’abord les éléments. A à. Les éléments bleus sont des échelles, A àEt sera devenu 3 × 3 Nous devons trouver la matrice :

|a|=

A à	B à	à C	à D
et à	à F	G à G	à H
je	à J	à k	à l
à M	à n	à O	à P

= à

A à

à F	G à G	à H
à J	à k	à l
à n	à O	à P

- ...

Ensuite, nous choisissons les éléments. B à:

A à	B à	à C	à D
et à	à F	G à G	à H
je	à J	à k	à l
à M	à n	à O	à P

et rArr

B à

et à	G à G	à H
je	à k	à l
à M	à O	à P

Continuer sur les éléments de la même manière à C et à D, et alternativement le symbole (- + -...) pour chaque terme:

|a|=

A à	B à	à C	à D
et à	à F	G à G	à H
je	à J	à k	à l
à M	à n	à O	à P

= à A à

à F	G à G	à H
à J	à k	à l
à n	à O	à P

- B.

et à	G à G	à H
je	à k	à l
à M	à O	à P

+ C

et à	à F	à H
je	à J	à l
à M	à n	à P

- D'après

et à	à F	G à G
je	à J	à k
à M	à n	à O

Nous continuerons ce processus. 3 × 3 La matrice (comme indiqué ci-dessus) jusqu'à ce que nous réduisions 4 × 4 Conversion de la matrice en échelle multipliée par 2 × 2 La matrice, dans laquelle nous pouvons calculer la formule linéaire en utilisant la formule de Leibniz. Comme on peut le voir, cela devient rapidement ennuyeux, mais c'est un type de N × N Une fois que vous avez compris le modèle. Il existe d'autres façons de calculer plus efficacement la formule d'une matrice, mais la compréhension d'autres concepts et symboles mathématiques est nécessaire.

L'inverse de la matrice

La matrice inverse de la matrice A à Exprimé comme A à^{- 1 -}Mais où est-ce A à^{- 1 -} Oui, le contraire. A à Si ce qui suit est vrai :

A × A^{- 1 -} = à^{- 1 -}× A = I, où je Matrice d'unités.

Matrice d'identité :

La matrice unitaire est une matrice carrée avec un « 1 » sur la diagonale et un « 0 » ailleurs. La matrice d'unité est la matrice d'équivalent du nombre "1". Par exemple, le nombre 1 est multiplié par n'importe quel nombre. à n équivalent à n. Il en va de même pour les matrices unitaires multipliées par les matrices de la même taille : A × I = A. Notez que la matrice d'unité peut avoir n'importe quelle dimension carrée. Par exemple, toutes les matrices ci-dessous sont des matrices d'unités. De gauche à droite, c'est 2 × 2, 3 × 3, et 4 × 4 Matrice d'identité :

Un.	0
0	Un.

；　

Un.	0	0
0	Un.	0
0	0	Un.

；　

Un.	0	0	0
0	Un.	0	0
0	0	Un.	0
0	0	0	Un.

...

Voilà N × N Par conséquent, la matrice unitaire est :

je_{à n} = à

Un.	0	0	...	0
0	Un.	0	...	0
0	0	Un.	...	0
...	...	...	...	...
0	0	0	...	Un.

Matrice inverse de la matrice 2 × 2:

Inverser une 2 × 2 La matrice peut être utilisée avec l'équation suivante:

A à^{- 1 -} = à

A à	B à
à C	à D

^{- 1 -}

= à

Un.

à D	- B.
- C.	A à

Détails (A)

= à

Un.

à D	- B.
- C.	A à

Année - avant J.-C.

Par exemple, supposons :

A =

2	Quatre.
3	sept.

A à^{- 1 -} = à

Un.

sept.	- quatre
- Trois	2

2 × 7 - 4 × 3

= à

Un.

sept.	- quatre
- Trois	2

= à

3.5 à	- Deux
- 1,5	Un.

Si vous voulez tester cela est en fait A à Vous trouverez les deux :

2	Quatre.
3	sept.

3.5 à	- Deux
- 1,5	Un.

3.5 à	- Deux
- 1,5	Un.

2	Quatre.
3	sept.

Équivalent à la matrice unitaire :

Moi =

Un.	0
0	Un.

Matrice inverse de la matrice 3 × 3:

L'inversion de A 3 × 3 Les matrices sont plus compliquées à calculer. Une formule de calcul est fournie ci-dessous, mais aucun calcul n'est effectué. Compte tenu :

M =

A à	B à	à C
à D	et à	à F
G à G	à H	je

à m^{- 1 -} = à

Un.

Détecteur (M)

A à	B à	à C
à D	à e	à F
G à G	à H	je

^{T à T}

= à

Un.

Détecteur (M)

A à	à D	G à G
B à	à e	à H
à C	à F	je

Parmi eux :

A à= ei-FH ; B à= (di-fg) ; à C=DH-EG à D= (bi-ch) ; à e= ai-CG ; à F=-(ah-BG) G à G= BF-ce ; à H= (af-CD) ; je=Ae-BD

4 × 4 De plus en plus complexe, il existe d'autres façons de les calculer.