マトリックス計算機

数学的なコンテキストでは、行列とは、数字、記号、または数式を行と列に並べた矩形状の配列です。行列は物理学、コンピュータグラフィックス、確率論、統計学、微積分、数値分析などの科学分野でよく使われています。

行列の次元数は、 a、通常はと表されます m × n。これは a ある m 行と n 列を作る。行列内の特定の値「要素」を参照するときは、通常、行列内の各要素の位置を表すために、2つの添え字を持つ変数を使用します。例えば、所定 a_私、j、どこですか i = 1 と j = 3, a_1，3 は、指定された行列の1行3列目の要素の値です。

加算、乗算、減算などの行列演算。のように、ほとんどの人は基本的な算術と代数で見られる内容に慣れているかもしれませんが、いくつかの点で確かに異なり、いくつかの制限を受けています。この計算機で実行できる行列演算の説明を以下に示します。

行列加算

行列加算は同じサイズの行列でしか実行できません。つまり、両方の行列がである場合にのみ行列を追加できます m × n。たとえば、2つ以上追加できます 3×3，1×2、または 5 × 4 マトリックス。追加できません 2 × 3 1人と 3 × 2 マトリックスa 4 × 4 1人と 3 × 3待って。追加するすべての行列の行数と列数は完全に一致している必要があります。

行列のサイズが同じ場合は、行列に対応する要素を追加して行列加算を実行します。例えば、2つの行列を与える、 a と b、エレメント付き a_私、j、そして b_私、j各要素を追加して行列を追加し、結果を新しい行列に入れます c、マトリックス内の対応する位置:

A =

一	2
3	四

； B =

5	6
七	8

上記マトリクスにおいて、 a_1，1 = 1； a_1，2 = 2； b_1，1 = 5； b_1，2 = 6；待って。私たちは適切な要素を追加して入手します c_私、j。該当する行と列の値を加算します。

a_1，1 + b_1，1 = 1 + 5 = 6 = c_1，1

a_1，2 + b_1，2 = 2 + 6 = 8 = c_1，2

a_2，1 + b_2，1 = 3 + 7 = 10 = c_2，1

a_2，2 + b_2，2 = 4 + 8 = 12 = c_2，2

したがって、行列 c はい:

C =

6	8
10	12

行列減算

行列減算の実行方式は上記の行列加算と基本的に同じであるが、数値は加算ではなく減算である。必要に応じて、上記の情報と例を参照して、次の例で使用されている記号の説明を理解してください。行列加算のように、減算される行列は大きさが同じでなければならない。行列のサイズが同じ場合、行列の減算は対応する行と列の要素を減算することによって実行されます。

A =

一	2
3	四

； B =

5	6
七	8

a_1，1 -ロ_1，1 = 1 - 5 = -4 = c_1，1

a_1，2 -ロ_1，2 = 2 - 6 = -4 = c_1，2

a_2，1 -ロ_2，1 = 3 - 7 = -4 = c_2，1

a_2，2 -ロ_2，2 = 4 - 8 = -4 = c_2，2

したがって、行列 c はい:

C =

-4	-4
-4	-4

行列乗算

スカラー乗算:

行列の各要素にスカラーを乗算することで、行列にスカラー値を乗算できます。例えば、ある行列 a スカラーと c：

A =

一	2
3	四

； c = 5

の産物 c と a はい:

5 ×

一	2
3	四

＝

5	10
15	20

行列-行列乗算:

スカラーを乗算するよりも、2つ以上の行列を乗算する方が複雑です。 2つの行列を乗算するには、1番目の行列の列数と2番目の行列の行数が一致している必要があります。たとえば、1つの 2 × 3 行列にaをかける 3 × 4 行列ですが、違います 2 × 3 行列にaをかける 四 × 3。

乗算可能:

A =

a_1，1	a_1，2	a_1，3
a_2，1	a_2，2	a_2，3

； B =

b_1，1	b_1，2	b_1，3	b_1，4
b_2，1	b_2，2	b_2，3	b_2，4
b_3，1	b_3，2	b_3，3	b_3，4

乗算できません:

A =

a_1，1	a_1，2	a_1，3
a_2，1	a_2，2	a_2，3

； B =

b_1，1	b_1，2	b_1，3
b_2，1	b_2，2	b_2，3
b_3，1	b_3，2	b_3，3
b_4，1	b_4，2	b_4，3

行列を乗算とき、 A × B イコールとは限らない B × A。実際には、単に a 掛け算できる b 意味ではありません b 掛け算できる a。

行列のサイズが正しく、乗算できる場合、行列はポイント積を実行することで乗算されます。ポイント積には、1番目の行列の行の対応する要素に、2番目の行列の列の対応する要素を乗算し、結果を合計して値を得ることが含まれます。ポイント積は長さが等しいシーケンスでのみ実行できます。だから、1番目の行列の列数は2番目の行列の行数と一致しなければなりません。

そして、点積は新しい行列の対応する行と列の値になり、 c。例えば、上記の乗算可能な行列から、の青色の行 a の青色の列を乗算します b 行列の最初の行の最初の列の値を決定する c。これを1行目のポイント積と呼びます a との1列目 b：

a_1，1×b_1，1 + a_1，2×b_2，1 + a_1，3×b_3，1 = c_1，1

各行に対してポイント積を実行する a 各列 b 両者のすべての組み合わせが完了して、行列内の対応する要素の値が見つかるまで c。たとえば、1行目のポイント積を実行する場合 a との1列目 b、結果は c_1，1 行列の c。の1行目のポイント積 a および2列目 b できるようになる c_1，2 行列の c、以下の例のように、同様にします。

A =

一	2	一
3	四	一

； B =

5	6	一	一
七	8	一	一
一	一	一	一

この場合、2つの行列を乗算すると、結果行列の行数は最初の行列の行数と同じになります a第2行列と同数の列、 b。～のため a はい 2 × 3 と b はい 3 × 四, c 一つになるだろう 2 × 四 マトリックス。ここでの色は、まず2つの行列が乗算できるかどうかを判断するのに役立ち、次に結果行列の次元数を判断するのに役立ちます。次に、決定できる要素の値 c 各行と各列のポイント積を実行すると、次のようになります。

C =

20	23	四	四
44	51	8	8

の各行と各列のポイント積は次のように計算されます c 次のように表示:

c_1，1 = 1×5 + 2×7 + 1×1 = 20

c_1，2 = 1×6 + 2×8 + 1×1 = 23

c_1，3 = 1×1 + 2×1 + 1×1 = 4

c_1，4 = 1×1 + 2×1 + 1×1 = 4

c_2，1 = 3×5 + 4×7 + 1×1 = 44

c_2，2 = 3×6 + 4×8 + 1×1 = 51

c_2，3 = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8

c_2，4 = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8

行列の累乗

この計算機にとって、「行列の累乗」とは、与えられた行列の累乗のことです。例えば，電卓を使うとき，行列の「2の累乗」を与えると， a、ということは a²。行列乗算規則も適用されるほか、行列指数の機能は数学の通常の機能と同じなので、正方行列(同じ行数と列数を持つ行列)だけを累乗に上げることができます。これは非正方形行列のためで、 a、自分自身と乗算することはできません。 A × Aこの場合、計算できません。必要に応じて、行列乗算の部分を参考にして、行列乗算の方法を復習してください。考えてみてください:

A =

一	3
2	一

a 2の累乗は次のとおりです

a² ＝

一	3
2	一

＝

一	3
2	一

一	3
2	一

＝

七	6
四	七

他の数学的文脈における指数と同様に、 a³、と等しくなります A × A × A, a^四 イコールになる A × A × A × A、待って。

マトリックス置換

行列の転置（通常、「t」を指数として表す））は行列の対角線上で行列を反転させる操作である。これにより、行列の行と列のインデックスが交換されます。これは a_首の内側 マトリックス内 a、になります a_{神経過敏の（jitteryの略）））。} いる a^t。必要に応じて、使用する記号の説明を参照してください。

一；一つ m × n 行列、転置、したがって n × m マトリックス、次の例を示します。

A =

一	3
2	一

a^t ＝

一	2
3	一

B =

20	23	四	四
44	51	8	8

b^t ＝

20	44
23	51
四	8
四	8

行列の行列式

行列の行列式は正方行列の要素から計算できる値である。線形代数、微積分、その他の数学的内容に使用されます。たとえば、行列式は行列の逆行列を計算したり、線形方程式を解くために使用できます。

行列式を計算する方法と式がたくさんあります。ライプニッツの公式とラプラスの公式はよく使われる二つの公式である。

2 × 2行列の行列式:

aの行列式 2 × 2 行列はライプニッツの公式を使って計算することができ、これにはいくつかの基本的な算術が関係している。与えられた行列 a：

A =

a	b
c	d

の行列式 a ライプニッツの公式を使うのは:

|A| =

a	b
c	d

=西暦-紀元前

行列式をとると通常は与えられた行列の周りの「| |」で表されることに注意してください。考えてみてください:

A =

2	四
6	8

|A| =

2	四
6	8

＝

2×8 - 4×6

＝

-8

3 × 3行列の行列式:

行列式を計算する一つの方法は 3 × 3 行列はラプラスの公式を使うことによって得られます。ラプラスの公式もライプニッツの公式も数学的に表すことができるが、記号と概念の使用に関わるので、ここでは議論しない。ラプラスの式を使ってaの行列式を計算する例を以下に示します 3 × 3 マトリックス:

|A| =

a	b	c
d	e	f
g	h	私

＝

e	f
h	私

-ロ

d	f
g	私

+ c

d	e
g	h

この点から、ライプニッツの公式を用いてaを計算することができる 2 × 2 行列を用いて2 × 2行列の行列式を計算します。行列のスカラー乗算は行列のすべての値にスカラーを乗算するだけなので、我々は 2 × 2 スカラーで表すと次のようになります。

|A| =

a	b	c
d	e	f
g	h	私

＝

a（Ei-FH）-b）di-fg）+c）DH-eg）））））））））））））））））））））））））））））））

これは、次のようにさらに簡略化できます

|A| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

これはaのライプニッツの公式です 3 × 3 マトリックス。

4 × 4行列以上の行列式:

aの行列式 4 × 4 行列とより高度な計算方法と 3 × 3ラプラスの公式またはライプニッツの公式を使う。上の例と同じです 3 × 3 行列。指定した行列をスカラーに次元縮退行列を掛けた行列式に「簡略化」できるパターンがあることに気づくかもしれません。つまり 4 × 4 一連のスカラー乗算に簡略化されます 3 × 3 行列、その中の各ペアの後続の スカラー×単純化行列 正負の符号が交互に変化する（つまり正負の符号を足したり引いたりする）。

このプロセスには、行列の最初の行の各要素を循環することが含まれます。最終的には、最初の行の各要素に低次元行列(元の行列より低い)を乗算する式が得られます。低次元行列の要素は、選択したスカラーが属する行と列をマスクすることによって決定され、残りの要素は低次元行列を構成します。以下の例を参考に説明してください。

ここでは、まず元素を選びます a。青の要素はスカラーで、 aとなり、となる 3 × 3 行列の行列式を見つける必要がある:

|A| =

a	b	c	d
e	f	g	h
私	j	k	L
m	n	O	p

＝

f	g	h
j	k	L
n	O	p

＿ ..

次に、要素を選択します b：

a	b	c	d
e	f	g	h
私	j	k	L
m	n	O	p

& rArr

e	g	h
私	k	L
m	O	p

要素についても同じように続けます c と d、記号--+...を交互に使用する各用語:

|A| =

a	b	c	d
e	f	g	h
私	j	k	L
m	n	O	p

＝ a

f	g	h
j	k	L
n	O	p

-ロ

e	g	h
私	k	L
m	O	p

+ c

e	f	h
私	j	L
m	n	p

- d

e	f	g
私	j	k
m	n	O

私たちはこのプロセスを続けます 3 × 3 マトリックス（上記のように）、私たちが減るまで 4 × 4 行列をスカラー倍に変換する 2 × 2 行列です。その中でライプニッツの公式を使って行列式を計算できます。これはすぐに退屈になることがわかりますが、これは使えることです n × n あなたがパターンを理解したら。行列の行列式をより効率的に計算する方法は他にもありますが、他の数学的概念や記号を理解する必要があります。

行列の逆

行列の逆行列 a を示します a^-1、どこですか a^-1 はい反意語です a 以下が真の場合:

A×A^-1 = A^-1×A = I、そのうち私は単位行列です

idマトリックス:

単位行列は対角線上に「1」がある正方形の行列で、他の場所はすべて「0」です。単位行列は数字「1」の等価行列である。例えば、数字1に任意の数字を掛ける n イコール n。単位行列に同じ大きさの行列を掛けても同様です。 A × I = A。単位行列には任意の二乗次元があることに注意してください。たとえば、次のすべての行列は単位行列です。左から右へはそれぞれ 2 × 2, 3 × 3、そして 4 × 4 idマトリックス:

一	0
0	一

；　

一	0	0
0	一	0
0	0	一

；　

一	0	0	0
0	一	0	0
0	0	一	0
0	0	0	一

これは n × n したがって、単位行列は次のとおりです。

私_n ＝

一	0	0	..	0
0	一	0	..	0
0	0	一	..	0
..	..	..	..	..
0	0	0	..	一

2 × 2行列の逆行列:

1つ反転する 2 × 2 行列。次の等式を使用できます。

a^-1 ＝

a	b
c	d

^-1

＝

一

d	-ロ
-ハ	a

詳細（a）））。

＝

一

d	-ロ
-ハ	a

西暦-紀元前

たとえば、次のようにします。

A =

2	四
3	七

a^-1 ＝

一

七	-4
-3	2

2×7 - 4×3

＝

一

七	-4
-3	2

＝

3.5	-2
-1.5	一

これをテストするなら実際には a 両者がわかります:

2	四
3	七

3.5	-2
-1.5	一

と

3.5	-2
-1.5	一

2	四
3	七

単位行列に等しい:

私=

一	0
0	一

3 × 3行列の逆行列:

aの逆数 3 × 3 行列計算はもっと煩雑です。以下に計算式を示しますが、計算は行われません。考えてみてください:

M =

a	b	c
d	e	f
g	h	私

m^-1 ＝

一

検出器（m）。

a	b	c
d	e	f
g	h	私

＝

一

検出器（m）。

a	d	g
b	e	h
c	f	私

その中で:

a= ei-FH； b=-（di-fg）； c=dh-eg d=-（bi-ch）； e= ai-CG； f=-（ah-BG））））。 g= BF-ce； h=-（af-CD）；私=ae-bd

4 × 4 ますます複雑になり、他の方法で計算することもできます。