매트릭스 계산기

수학 컨텍스트에서 행렬은 행과 열별로 정렬된 숫자, 기호 또는 표현식의 직사각형 배열입니다. 매트릭스는 물리학, 컴퓨터 그래픽, 확률론, 통계, 미적분학, 수치 분석 등 과학 분야에 자주 사용된다.

행렬의 차원, A, 일반적으로 로 표시됩니다 M × n。 이것은 A 있다 M 행과 N 열. 행렬의 특정 값 (요소라고 함) 을 참조할 때 일반적으로 두 개의 아래 첨자가 있는 변수를 사용하여 행렬에서 각 요소의 위치를 나타냅니다. 예를 들어, 주어진 A_{나, J.}어디예요? I = 1 그리고 J = 3그리고, A_1,3 주어진 행렬의 첫 번째 행의 세 번째 열에 있는 요소의 값입니다.

더하기, 곱하기, 빼기 등과 같은 행렬 연산. , 대부분의 사람들이 기본 산수와 대수학에서 보는 것에 익숙해질 수 있지만, 어떤 면에서는 확실히 다르고, 어떤 제한을 받는다. 다음은 이 계산기에서 수행할 수 있는 행렬 연산에 대한 설명입니다.

행렬 더하기

행렬 추가는 같은 크기의 행렬에서만 수행할 수 있습니다. 즉, 두 행렬이 모두 인 경우에만 행렬을 추가할 수 있습니다 M × n。 예를 들어, 둘 이상을 추가할 수 있습니다 3 × 3, 1 × 2, 또는 5 × 4 행렬. 추가할 수 없습니다 2 × 3 그리고 하나 3 × 2 행렬 a 4 × 4 그리고 하나 3 × 3등등. 추가한 모든 행렬의 행과 열 수는 정확히 일치해야 합니다.

행렬 크기가 같은 경우 행렬에서 해당 요소를 추가하여 행렬 추가를 수행합니다. 예를 들어, 두 개의 행렬이 주어지면 ， A 그리고 B, 요소 포함 A_{나, J.}, 및 B_{나, J.}각 요소를 추가하여 행렬을 추가한 다음 결과를 새 행렬에 넣습니다. C, 행렬의 해당 위치:

A =

하나；일；1	2
3	사

을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 B =

5	6
일곱	8

위의 행렬에서 A_1,1 = 1을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 A_1,2 = 2을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 B_1,1 = 5을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 B_1,2 = 6을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 등등. 적절한 요소를 추가하여 C_{나, J.}。 해당 행과 열의 값을 더하려면 다음과 같이 하십시오.

A_1,1 +b_1,1 = 1+5 = 6 = C._1,1

A_1,2 +b_1,2 = 2+6 = 8 = C._1,2

A_2,1 +b_2,1 = 3+7 = 10 = c_2,1

A_2,2 +b_2,2 = 4+8 = 12 = c_2,2

그래서 행렬은 C 예:

C =

6	8
10	12

행렬 빼기

행렬 빼기는 위에서 설명한 행렬 덧셈과 거의 동일한 방식으로 수행됩니다. 단, 숫자 값은 더하기가 아니라 빼기입니다. 필요한 경우 위의 정보와 예제를 참조하여 다음 예제에 사용된 기호 설명을 확인하십시오. 행렬 덧셈과 마찬가지로 뺄셈 연산의 행렬은 크기가 같아야 합니다. 행렬 크기가 같은 경우 해당 행과 열의 요소를 빼서 행렬 빼기를 수행합니다.

A =

하나；일；1	2
3	사

을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 B =

5	6
일곱	8

A_1,1 -을_1,1 = 1-5 =-4 = C._1,1

A_1,2 -을_1,2 = 2-6 =-4 = C._1,2

A_2,1 -을_2,1 = 3-7 =-4 = C._2,1

A_2,2 -을_2,2 = 4-8 =-4 = C._2,2

그래서 행렬은 C 예:

C =

-4	-4
-4	-4

행렬 곱셈

스칼라 곱셈:

행렬의 각 요소에 스칼라를 곱하여 행렬에 스칼라 값을 곱할 수 있습니다. 예를 들어, 주어진 행렬은 A 스칼라와 함께 C다음 중 하나를 수행합니다.

A =

하나；일；1	2
3	사

을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 C = 5

의 산물 C 그리고 A 예:

5 ×

하나；일；1	2
3	사

5	10
15	20

행렬-행렬 곱셈:

두 개 이상의 행렬을 곱하는 것이 스칼라 곱하기보다 더 복잡합니다. 두 행렬을 곱하려면 첫 번째 행렬의 열 수가 두 번째 행렬의 행 수와 일치해야 합니다. 예를 들어, 다음 중 하나를 2 × 3 행렬 곱하기 a 3 × 4 행렬, 하지만 그렇지 않습니다. 2 × 3 행렬 곱하기 a 사 × 3。

곱할 수 있습니다.

A =

A_1,1	A_1,2	A_1,3
A_2,1	A_2,2	A_2,3

을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 B =

B_1,1	B_1,2	B_1,3	B_1,4
B_2,1	B_2,2	B_2,3	B_2,4
B_3,1	B_3,2	B_3,3	B_3,4

곱할 수 없음:

A =

A_1,1	A_1,2	A_1,3
A_2,1	A_2,2	A_2,3

을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 B =

B_1,1	B_1,2	B_1,3
B_2,1	B_2,2	B_2,3
B_3,1	B_3,2	B_3,3
B_4,1	B_4,2	B_4,3

행렬이 곱할 때, A × B 반드시 같지는 않다 B × A。 사실, 단지 A 곱할 수 있다 B 그렇다고 해서 B 곱할 수 있다 A。

행렬 크기가 정확하고 곱할 수 있는 경우 행렬은 점 곱을 수행하여 곱합니다. 점적에는 첫 번째 행렬의 행에 있는 해당 요소에 두 번째 행렬의 열에 있는 해당 요소를 곱한 다음 결과를 합하여 값을 구하는 작업이 포함됩니다. 점 곱은 길이가 같은 시퀀스에서만 수행할 수 있습니다. 이것이 첫 번째 행렬의 열 수가 두 번째 행렬의 행 수와 일치해야 하는 이유입니다.

그런 다음 점 곱은 새 행렬의 해당 행과 열의 값이 됩니다. C。 예를 들어 위의 곱셈 가능한 행렬에서 의 파란색 행을 사용합니다 A 의 파란색 열을 곱합니다 B 행렬의 첫 번째 행의 첫 번째 열에서 값을 결정합니다 C。 이를 행 1 의 점 곱이라고 합니다 A 및 의 열 1 B다음 중 하나를 수행합니다.

A_1,1×b_1,1 +a_1,2×b_2,1 +a_1,3×b_3,1 = c_1,1

각 행에 대해 점 곱을 수행합니다 A 열당 B 행렬의 해당 요소 값을 찾을 수 있도록 두 가지의 모든 조합이 완료될 때까지 C。 예를 들어, 행 1 의 점 곱을 수행할 때 A 및 의 열 1 B, 결과는 다음과 같습니다 C_1,1 행렬 C。 행 1 의 점 곱 A 및 2 열 B 윌 C_1,2 행렬 C, 이런 식으로 다음 예와 같이 ：

A =

하나；일；1	2	하나；일；1
3	사	하나；일；1

을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 B =

5	6	하나；일；1	하나；일；1
일곱	8	하나；일；1	하나；일；1
하나；일；1	하나；일；1	하나；일；1	하나；일；1

이 경우 두 행렬을 곱하면 결과 행렬의 행 수가 첫 번째 행렬의 행 수와 같아집니다 A그리고 두 번째 행렬과 같은 수의 열, B。 왜냐하면 A 이다 2 × 3 그리고 B 이다 3 × 사그리고, C 한 가지가 될 것입니다. 2 × 사 행렬. 여기서 색상은 먼저 두 행렬을 곱할 수 있는지 여부를 결정하는 데 도움이 되며, 두 번째는 결과 행렬의 차원을 결정하는 데 도움이 됩니다. 다음으로 요소 값을 결정할 수 있습니다 C 다음과 같이 행당 및 열당 점 곱을 수행하여 ：

C =

20	23	사	사
44	51	8	8

각 행과 각 열의 점 곱은 다음과 같이 계산됩니다 C 다음으로 표시:

C_1,1 = 1×5+2×7+1×1 = 20

C_1,2 = 1×6+2×8+1×1 = 23

C_1,3 = 1×1+2×1+1×1 = 4

C_1,4 = 1×1+2×1+1×1 = 4

C_2,1 = 3×5+4×7+1×1 = 44

C_2,2 = 3×6+4×8+1×1 = 51

C_2,3 = 3×1+4×1+1×1 = 8

C_2,4 = 3×1+4×1+1×1 = 8

행렬의 거듭제곱

이 계산기에서 "행렬의 거듭제곱" 은 주어진 행렬의 거듭제곱을 가리킨다. 예를 들어 계산기를 사용할 때 주어진 행렬의 "2 의 거듭제곱" 은 A, 의미 A²。 행렬 곱셈 규칙도 적용된다는 점을 제외하면 행렬 지수는 수학의 일반 기능과 동일하게 작동하므로 행렬 (행과 열 수가 같은 행렬) 만 제곱으로 승격될 수 있습니다. 이것은 정사각형이 아닌 행렬 때문입니다. A, 자신을 곱할 수 없습니다. A × A이 경우 계산할 수 없습니다. 필요한 경우 행렬 곱셈 섹션을 참조하여 행렬 곱셈을 수행하는 방법을 검토합니다. 주어진:

A =

하나；일；1	3
2	하나；일；1

A 2 의 거듭제곱은 다음과 같습니다.

A² =

하나；일；1	3
2	하나；일；1

하나；일；1	3
2	하나；일；1

하나；일；1	3
2	하나；일；1

일곱	6
사	일곱

다른 수학적 문맥에서의 지수와 마찬가지로, A³, 같음 A × A × A그리고, A^사 같음 A × A × A × A, 등등.

행렬 회전

행렬의 회전 (일반적으로 "T" 를 지수로 사용) 은 행렬의 대각선에서 행렬을 뒤집는 작업입니다. 이로 인해 교환 행렬의 행 및 열 인덱스가 발생합니다. A_{목 안} 행렬에서 A, 로 A_{신경과민 (jittery 의 약자)} 에서 A^T。 필요한 경우 위에서 사용된 기호에 대한 설명을 참조하십시오.

하나; 하나 M × n 행렬, 회전, 그래서 N × m 행렬 (다음 예 참조) ：

A =

하나；일；1	3
2	하나；일；1

A^T =

하나；일；1	2
3	하나；일；1

B =

20	23	사	사
44	51	8	8

B^T =

20	44
23	51
사	8
사	8

행렬의 행렬식

행렬의 행렬식은 방진의 요소에서 계산할 수 있는 값입니다. 선형 대수학, 미적분학 및 기타 수학 내용에 사용됩니다. 예를 들어 행렬식을 사용하여 행렬의 역행렬을 계산하거나 선형 방정식을 풀 수 있습니다.

행렬 결정 요인을 계산하는 많은 방법과 공식이 있습니다. 라이프니츠 공식과 라플라스 공식은 두 가지 일반적인 공식이다.

2 × 2 행렬의 결정 요인:

A 의 행렬식 2 × 2 행렬은 라이프니츠 공식을 사용하여 계산할 수 있으며, 여기에는 몇 가지 기본적인 산수가 포함됩니다. 주어진 행렬 A다음 중 하나를 수행합니다.

A =

A	B
C	D

행렬식 A 라이프니츠 공식을 사용하는 것은 다음과 같습니다.

|A| =

A	B
C	D

= 기원-기원전

행렬식은 일반적으로 주어진 행렬 주위의 "| |" 로 표시됩니다. 주어진:

A =

2	사
6	8

|A| =

2	사
6	8

2×8-4×6

-8

3 × 3 행렬의 결정 요인:

행렬식을 계산하는 한 가지 방법은 3 × 3 행렬은 라플라스 공식을 사용하여 얻어진다. 라플라스 공식과 라이프니츠 공식은 모두 수학적으로 표현할 수 있지만 기호와 개념의 사용에 대해서는 여기서 논의하지 않는다. 다음은 라플라스 공식을 사용하여 A 의 행렬식을 계산하는 방법의 예입니다. 3 × 3 행렬:

|A| =

A	B	C
D	E	F
G	H	나

E	F
H	나

-을

D	F
G	나

D	E
G	H

이 점에서, 우리는 라이브니츠 공식을 사용하여 A 를 계산할 수 있다. 2 × 2 행렬은 2 × 2 행렬의 행렬식을 계산합니다. 행렬의 스칼라 곱셈은 행렬의 모든 값에 스칼라를 곱하는 것이기 때문에 우리는 2 × 2 스칼라는 다음과 같이 표시됩니다.

|A| =

A	B	C
D	E	F
G	H	나

A(ei-FH)-b(di-fg)+c(DH-eg)

이것은 다음과 같이 더욱 단순화 될 수 있습니다.

|A| = AEI+bfg+CDH-ceg-BDI-afh

이것은 a 의 라이프니츠 공식입니다 3 × 3 행렬.

4 × 4 행렬 및 더 높은 행렬의 결정 요인:

A 의 행렬식 4 × 4 행렬 및 고급 계산 방법 및 3 × 3라플라스 공식 또는 라이프니츠 공식을 사용합니다. 위의 예와 같다 3 × 3 행렬, 주어진 행렬을 스칼라에 차원 감소 행렬의 행렬식을 "단순화" 할 수 있는 패턴을 볼 수 있습니다. 4 × 4 일련의 스칼라 곱으로 단순화됩니다 3 × 3 행렬, 각 쌍의 후속 스칼라 × 단순화 행렬 부호 부호가 번갈아 변하다 (즉, 부호 더하기 또는 빼기).

이 프로세스에는 행렬의 첫 번째 행에 있는 각 요소를 순환하는 과정이 포함됩니다. 마지막으로 첫 번째 행의 각 요소에 저차원 행렬 (원본 행렬보다 낮음) 을 곱하는 표현식을 얻습니다. 저차원 행렬의 요소는 선택한 스칼라가 속한 행과 열을 마스킹하여 결정되고 나머지 요소는 저차원 행렬을 구성합니다. 아래 예를 참고하여 설명해 주십시오.

여기서 먼저 요소를 선택합니다. A。 파란색 요소는 스칼라입니다. A, 그리고 3 × 3 우리는 행렬의 행렬식을 찾아야 합니다.

|A| =

A	B	C	D
E	F	G	H
나	J.	K	L
M	N	O	P.

F	G	H
J.	K	L
N	O	P.

-- ...

다음으로, 요소를 선택합니다 B다음 중 하나를 수행합니다.

A	B	C	D
E	F	G	H
나	J.	K	L
M	N	O	P.

& rArr

E	G	H
나	K	L
M	O	P.

요소에 대해 같은 방식으로 계속합니다 C 그리고 D, 기호 (-+-...) 의 각 용어를 번갈아 가며 ：

|A| =

A	B	C	D
E	F	G	H
나	J.	K	L
M	N	O	P.

= A

F	G	H
J.	K	L
N	O	P.

-을

E	G	H
나	K	L
M	O	P.

E	F	H
나	J.	L
M	N	P.

-d

E	F	G
나	J.	K
M	N	O

우리는 이 과정을 계속할 것이다 3 × 3 우리가 줄일 때까지 행렬 (위 참조) 4 × 4 행렬은 스칼라 곱으로 변환됩니다 2 × 2 Leibniz 공식을 사용하여 행렬식을 계산할 수 있는 행렬. 보시다시피, 이것은 곧 무미건조해졌지만, 이것은 사용할 수 있는 것입니다. N × n 일단 패턴을 이해하게 되면. 행렬의 행렬식을 보다 효율적으로 계산할 수 있는 다른 방법도 있지만 다른 수학 개념과 기호를 이해해야 합니다.

행렬의 역행렬

행렬의 역행렬 A 로 표시 A^-1어디예요? A^-1 네, 반의어입니다 A 다음과 같은 경우:

A×A^-1 = A^-1× a = i. 여기서 나 단위 행렬입니다

신원 매트릭스:

단위 행렬은 대각선에 "1" 이 있는 정사각형 행렬이고, 다른 곳은 모두 "0" 이다. 단위 행렬은 숫자 "1" 에 해당하는 행렬입니다. 예를 들어 숫자 1 에 임의의 숫자를 곱합니다 N 같음 N。 단위 행렬에 같은 크기의 행렬을 곱한 것도 마찬가지입니다. A × I = A。 단위 행렬에는 모든 제곱 차원이 있을 수 있습니다. 예를 들어, 다음 모든 행렬은 단위 행렬입니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 각각 2 × 2그리고, 3 × 3, 및 4 × 4 신원 매트릭스:

하나；일；1	0
0	하나；일；1

을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 　

하나；일；1	0	0
0	하나；일；1	0
0	0	하나；일；1

을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 　

하나；일；1	0	0	0
0	하나；일；1	0	0
0	0	하나；일；1	0
0	0	0	하나；일；1

...

이것은 N × n 따라서 단위 행렬은 다음과 같습니다.

나_N =

하나；일；1	0	0	...	0
0	하나；일；1	0	...	0
0	0	하나；일；1	...	0
...	...	...	...	...
0	0	0	...	하나；일；1

2 × 2 행렬의 역행렬:

하나를 반전하다 2 × 2 행렬, 다음 방정식을 사용할 수 있습니다.

A^-1 =

A	B
C	D

^-1

하나；일；1

D	-을
-c	A

세부 정보 (a)

하나；일；1

D	-을
-c	A

서기-기원전

예를 들어, 다음과 같이 가정합니다.

A =

2	사
3	일곱

A^-1 =

하나；일；1

일곱	-4
-3	2

2×7-4×3

하나；일；1

일곱	-4
-3	2

3.5	-2
-1.5	하나；일；1

만약 여러분이 이것을 시험하고 싶다면, A 둘 다 찾을 수 있습니다.

2	사
3	일곱

3.5	-2
-1.5	하나；일；1

그리고

3.5	-2
-1.5	하나；일；1

2	사
3	일곱

동일 단위 행렬:

나 =

하나；일；1	0
0	하나；일；1

3 × 3 행렬의 역행렬:

A 의 역수 3 × 3 행렬은 계산하는 것이 더 번거롭다. 다음은 계산 공식이지만 계산이 수행되지 않습니다. 주어진:

M =

A	B	C
D	E	F
G	H	나

M^-1 =

하나；일；1

감지기 (m)

A	B	C
D	E	F
G	H	나

하나；일；1

감지기 (m)

A	D	G
B	E	H
C	F	나

여기서:

A= ei-FH; B=-(di-fg); C=dh-eg D=-(bi-ch); E= ai-CG; F=-(ah-BG) G= BF-ce; H=-(af-CD); 나=ae-bd

4 × 4 점점 더 복잡해지고 있으며, 그들을 계산하는 다른 방법이 있습니다.