Calculadora Matriz

Em um contexto matemático, uma matriz é uma matriz retangular de números, símbolos ou expressões organizados em linhas e colunas. As matrizes são frequentemente usadas em áreas científicas, como física, computação gráfica, teoria da probabilidade, estatística, cálculo, análise numérica, etc.

dimensões da matriz, A emGeralmente é indicado como m × nSenhoras e senhores. Isso significa que A em -sim. O M linha e n colunas. Ao fazer referência a um valor específico em uma matriz (chamado de elemento), uma variável com dois subíndices é geralmente usada para indicar a posição de cada elemento na matriz. Por exemplo, dado A._{Eu, J.}, where I = 1 e J = 3, A._{1 , 3} é o valor do elemento na terceira coluna da primeira linha da matriz dada.

Operações de matriz, como adição, multiplicação, subtração, etc. Similar ao que a maioria das pessoas pode estar acostumada a ver em aritmética básica e álgebra, mas é diferente em alguns aspectos e sujeito a certas restrições. Aqui está uma descrição das operações de matriz que esta calculadora pode executar.

Matriz de adição

A adição de matriz só pode ser executada em matrizes do mesmo tamanho. Isso significa que a matriz só pode ser adicionada se ambas as matrizes forem. m × nSenhoras e senhores. Por exemplo, você pode adicionar dois ou mais 3 × 3, 1 × 2, ou 5 × 4 matrizes. Você não pode adicionar 2 × 3 com um 3 × 2 Matriz A 4 × 4 com um 3 × 3espere. O número de linhas e colunas de todas as matrizes adicionadas deve corresponder exatamente.

Se o tamanho da matriz for o mesmo, a adição da matriz é realizada adicionando os elementos correspondentes da matriz. Por exemplo, dado duas matrizes, A em e B emcom elementos. A._{Eu, J.}, and b._{Eu, J.}Adicione a matriz adicionando cada elemento e, em seguida, coloque o resultado em uma nova matriz, C emposição correspondente na matriz:

A =

um.	2
3	quatro.

; b =

5	6
sete.	8

Na referida matriz, A._{1 1o} = 1; A._{1 e 2} = 2; b._{1 1o} = 5; b._{1 e 2} = 6; espere. Nós adicionamos os elementos apropriados para obter C._{Eu, J.}Senhoras e senhores. Adicione os valores nas linhas e colunas correspondentes:

A._{1 1o} + B_{1 1o} = 1 + 5 = 6 = c_{1 1o}

A._{1 e 2} + B_{1 e 2} = 2 + 6 = 8 = c_{1 e 2}

A._{2, 1} + B_{2, 1} = 3 + 7 = 10 = c_{2, 1}

A._{2 e 2} + B_{2 e 2} = 4 + 8 = 12 = c_{2 e 2}

Portanto, a matriz C em sim:

C =

6	8
10	12

Subtração da matriz

A subtração de matriz é praticamente executada da mesma maneira que a adição de matriz acima, exceto que os valores são subtraídos em vez de adicionados. Se necessário, consulte as informações e os exemplos acima para obter uma descrição dos símbolos usados nos exemplos abaixo. Como a adição de matriz, a matriz subtraída deve ter o mesmo tamanho. Se o tamanho da matriz for o mesmo, a subtração da matriz é executada subtraindo os elementos nas linhas e colunas correspondentes:

A =

um.	2
3	quatro.

; b =

5	6
sete.	8

A._{1 1o} -B._{1 1o} = 1 - 5 = -4 = c_{1 1o}

A._{1 e 2} -B._{1 e 2} = 2 - 6 = -4 = c_{1 e 2}

A._{2, 1} -B._{2, 1} = 3 - 7 = -4 = c_{2, 1}

A._{2 e 2} -B._{2 e 2} = 4 - 8 = -4 = c_{2 e 2}

Portanto, a matriz C em sim:

C =

- Quatro	- Quatro
- Quatro	- Quatro

Multiplicação da matriz

Multiplicação escalar:

Ao multiplicar cada elemento da matriz pelo escalar, você pode multiplicar a matriz pelo valor escalar. Por exemplo, uma matriz A em e um escalar. C.:

A =

um.	2
3	quatro.

; C = 5

O produto C. e A em sim:

5 ×

um.	2
3	quatro.

5	10
15	20

Matriz - Multiplicação da matriz:

A multiplicação de duas (ou mais) matrizes é mais complexa do que a multiplicação escalar. Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas na primeira matriz deve corresponder ao número de linhas na segunda matriz. Por exemplo, você pode colocar um 2 × 3 Matriz multiplicada por a 3 × 4 Matriz, mas não. 2 × 3 Matriz multiplicada por a quatro. × 3Senhoras e senhores.

Pode ser multiplicado:

A =

A._{1 1o}	A._{1 e 2}	A._{1 , 3}
A._{2, 1}	A._{2 e 2}	A._{2 e 3}

; b =

b._{1 1o}	b._{1 e 2}	b._{1 , 3}	b._{1 4o}
b._{2, 1}	b._{2 e 2}	b._{2 e 3}	b._{2 , 4}
b._{3, 1}	b._{Três, dois}	b._{Três, três}	b._{Três, quatro}

Não pode multiplicar:

A =

A._{1 1o}	A._{1 e 2}	A._{1 , 3}
A._{2, 1}	A._{2 e 2}	A._{2 e 3}

; b =

b._{1 1o}	b._{1 e 2}	b._{1 , 3}
b._{2, 1}	b._{2 e 2}	b._{2 e 3}
b._{3, 1}	b._{Três, dois}	b._{Três, três}
b._{4, 1}	b._{4, 2}	b._{4, 3}

Observe que quando a matriz é multiplicada, A × B Não necessariamente igual a B × ASenhoras e senhores. Na verdade, apenas porque A em pode ser multiplicado B em Não significa que B em pode ser multiplicado A emSenhoras e senhores.

Se o tamanho da matriz estiver correto e pode ser multiplicado, a matriz é multiplicada executando o produto de pontos. O produto de pontos consiste em multiplicar o elemento correspondente na linha da primeira matriz pelo elemento correspondente na coluna da segunda matriz e, em seguida, somar o resultado para obter um valor. O produto de pontos só pode ser executado em sequências de igual comprimento. É por isso que o número de colunas da primeira matriz deve corresponder ao número de linhas da segunda matriz.

Em seguida, o produto de pontos se torna o valor nas linhas e colunas correspondentes da nova matriz, C emSenhoras e senhores. Por exemplo, da matriz multiplicável acima, a linha azul em A em Multiplique a coluna azul. B em Determina o valor na primeira coluna da primeira linha da matriz C emSenhoras e senhores. Isso é chamado de produto de pontos da linha 1. A em e da coluna 1 B em:

A._{1 1o}× b_{1 1o} + A_{1 e 2}× b_{2, 1} + A_{1 , 3}× b_{3, 1} = C_{1 1o}

Executar o produto em cada linha A em Cada coluna B em Até que todas as combinações dos dois sejam concluídas, a fim de encontrar o valor do elemento correspondente na matriz C emSenhoras e senhores. Por exemplo, quando você executa o produto de pontos da linha 1 A em e da coluna 1 B emO resultado será C._{1 1o} do Matrix. C emSenhoras e senhores. O produto da linha 1 A em e a coluna 2 B em vai ser C._{1 e 2} do Matrix. C em, e assim por diante, como mostra o seguinte exemplo:

A =

um.	2	um.
3	quatro.	um.

; b =

5	6	um.	um.
sete.	8	um.	um.
um.	um.	um.	um.

Nesse caso, quando duas matrizes são multiplicadas, o número de linhas da matriz resultante será igual ao número de linhas da primeira matriz. A eme o mesmo número de colunas que a segunda matriz, B emSenhoras e senhores. porque A em sim. 2 × 3 e B em sim. 3 × quatro., C em Vai ser um 2 × quatro. matrizes. As cores aqui ajudam a determinar, em primeiro lugar, se duas matrizes podem ser multiplicadas e, em segundo lugar, ajudam a determinar as dimensões da matriz resultante. Em seguida, podemos determinar o valor do elemento. C em Faça o produto de pontos para cada linha e coluna, da seguinte forma:

C =

20	23	quatro.	quatro.
44	51	8	8

O produto de pontos de cada linha e coluna é calculado da seguinte forma C em Mostrar como:

C._{1 1o} = 1 × 5 + 2 × 7 + 1 × 1 = 20

C._{1 e 2} = 1 × 6 + 2 × 8 + 1 × 1 = 23

C._{1 , 3} = 1 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 4

C._{1 4o} = 1 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 4

C._{2, 1} = 3 × 5 + 4 × 7 + 1 × 1 = 44

C._{2 e 2} = 3 × 6 + 4 × 8 + 1 × 1 = 51

C._{2 e 3} = 3 × 1 + 4 × 1 + 1 × 1 = 8

C._{2 , 4} = 3 × 1 + 4 × 1 + 1 × 1 = 8

A entropia da matriz

Para esta calculadora, "entropia da matriz" refere-se à entropia da matriz dada. Por exemplo, ao usar uma calculadora, dada a "potência de 2" da matriz, A emIsso significa que A em²Senhoras e senhores. Além da regra da multiplicação da matriz, a função do exponente da matriz é a mesma que a função normal na matemática, de modo que apenas uma matriz quadrada (matriz com o mesmo número de linhas e colunas) pode ser elevada para a entropia. Isso ocorre porque a matriz não quadrada, A emNão pode multiplicar-se a si mesmo. A × ANesse caso, não é possível calcular. Se necessário, consulte a seção Multiplicação de Matrizes para rever como a multiplicação de matrizes é realizada. Considerando que:

A =

um.	3
2	um.

A em 2 O potássio é:

A em² =

um.	3
2	um.

um.	3
2	um.

um.	3
2	um.

sete.	6
quatro.	sete.

Como em outros contextos matemáticos, A em³será igual a A × A × A, A em^quatro. será igual a A × A × A × AEntão, espere.

Mudança de matriz

A transposição de uma matriz (geralmente representada por um "T" como um exponente) é uma operação que inverte a matriz na diagonal da matriz. Isso resulta em índices de linhas e colunas da matriz de troca, o que significa que A._{dentro do pescoço} Na matriz. A emTornar-se A._{Tranquilidade (abreviação de Jittery)} em A em^{T em}Senhoras e senhores. Se necessário, consulte a descrição dos símbolos utilizados acima.

1o; um. m × n A matriz, a transferência, e, portanto, se tornará N × m Matrizes como mostrado no seguinte exemplo:

A =

um.	3
2	um.

A em^{T em} =

um.	2
3	um.

b =

20	23	quatro.	quatro.
44	51	8	8

B em^{T em} =

20	44
23	51
quatro.	8
quatro.	8

linhas da matriz.

A matriz é um valor que pode ser calculado a partir dos elementos da matriz quadrada. É usado em álgebra linear, cálculo e outros conteúdos matemáticos. Por exemplo, a fórmula pode ser usada para calcular a matriz inversa de uma matriz ou para resolver um sistema de equações lineares.

Existem muitos métodos e fórmulas para calcular a matriz. A fórmula de Leibniz e a fórmula de Laplace são duas fórmulas comumente usadas.

Formação de matrizes 2 × 2:

A linha de A 2 × 2 As matrizes podem ser calculadas usando a fórmula de Leibniz, que envolve algumas aritmética básica. dada a matriz. A em:

A =

A.	b.
C.	D em

das linhas. A em Usando a fórmula de Leibniz é:

|a|=

A.	b.
C.	D em

= antes de Cristo - antes de Cristo

Observe que os formatos de colunas são geralmente representados por "| |" em torno de uma determinada matriz. Considerando que:

A =

2	quatro.
6	8

|a|=

2	quatro.
6	8

2×8 – 4×6

- Oito

Estrutura de matrizes 3 × 3:

Uma forma de calcular a linha é 3 × 3 A matriz é obtida usando a fórmula de Laplace. A fórmula de Laplace e a fórmula de Leibniz podem ser representadas matematicamente, mas o uso de símbolos e conceitos não é discutido aqui. Aqui está um exemplo de como calcular a fórmula de a usando a fórmula de Laplace 3 × 3 Matriz:

|a|=

A.	b.	C.
D em	E.	F em
G. em	Cidade H	eu.

E.	F em
Cidade H	eu.

-B.

D em	F em
G. em	eu.

+ C.

D em	E.
G. em	Cidade H

A partir deste ponto, podemos usar a fórmula de Leibniz para calcular a 2 × 2 A matriz é usada para calcular a formatação de uma matriz de 2 × 2, uma vez que a multiplicação escalar da matriz simplesmente multiplica todos os valores da matriz por escalar, então podemos 2 × 2 A escala é representada da seguinte forma:

|a|=

A.	b.	C.
D em	E.	F em
G. em	Cidade H	eu.

a (ei-FH) - b (di-fg) + c (DH-eg)

Isso pode ser simplificado ainda mais para:

|A| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

Esta é a fórmula de Leibniz. 3 × 3 matrizes.

4 × 4 matrizes e matrizes superiores:

A linha de A 4 × 4 Matrizes e métodos de cálculo mais avançados 3 × 3Use a fórmula de Laplace ou a fórmula de Leibniz. Assim como o exemplo acima. 3 × 3 Matrizes, você pode notar um padrão que permite que você "simplifique" uma determinada matriz em uma escala multiplicada pela fórmula de uma matriz de dimensão decrescente, ou seja 4 × 4 reduzida a uma série de escalares multiplicados por 3 × 3 matriz, em que cada par subsequente Escalar × matriz simplificada Os símbolos positivos e negativos alternam (ou seja, os símbolos positivos e negativos são adicionados ou subtraídos).

O processo envolve o ciclo de cada elemento na primeira linha da matriz. Eventualmente, teremos uma expressão em que cada elemento na primeira linha será multiplicado por uma matriz de baixa dimensão (abaixo da matriz original). Os elementos da matriz de baixa dimensão são determinados por mascarar as linhas e colunas a que pertencem os escalares selecionados, e os elementos restantes formam a matriz de baixa dimensão. Por favor, veja os exemplos abaixo para ilustrar.

Primeiro escolhemos os elementos. A.Senhoras e senhores. Os elementos azuis são escalares. A.E será também 3 × 3 Precisamos encontrar a matriz:

|a|=

A.	b.	C.	D em
E.	F em	G. em	Cidade H
eu.	J em	A K	O L
O M	n	O	Cidade P

F em	G. em	Cidade H
J em	A K	O L
n	O	Cidade P

- ...

Em seguida, escolhemos os elementos. b.:

A.	b.	C.	D em
E.	F em	G. em	Cidade H
eu.	J em	A K	O L
O M	n	O	Cidade P

& RArr

E.	G. em	Cidade H
eu.	A K	O L
O M	O	Cidade P

Continuar nos elementos da mesma maneira C. e D em, e alternar o símbolo (- + - ...) para cada termo:

|a|=

A.	b.	C.	D em
E.	F em	G. em	Cidade H
eu.	J em	A K	O L
O M	n	O	Cidade P

= A.

F em	G. em	Cidade H
J em	A K	O L
n	O	Cidade P

-B.

E.	G. em	Cidade H
eu.	A K	O L
O M	O	Cidade P

+ C.

E.	F em	Cidade H
eu.	J em	O L
O M	n	Cidade P

- D.

E.	F em	G. em
eu.	J em	A K
O M	n	O

Continuaremos esse processo. 3 × 3 matriz (como mostrado acima), até que reduzimos 4 × 4 Conversão de matriz em escala multiplicada por 2 × 2 Matriz, na qual podemos calcular a fórmula de linhas usando a fórmula de Leibniz. Como você pode ver, isso rapidamente se torna chato, mas este é um tipo de n × n Uma vez que você entenda o padrão. Existem outras maneiras de calcular uma matriz de forma mais eficiente, mas é necessário compreender outros conceitos e símbolos matemáticos.

Inverse of a matrix

The inverse of a matrix A em is denoted as A em^{- 1}, where A em^{- 1} is the inverse of A em if the following is true:

A×A^{- 1} = A^{- 1}×A = I, where eu. is the identity matrix

Identity matrix:

The identity matrix is a square matrix with "1" across its diagonal, and "0" everywhere else. The identity matrix is the matrix equivalent of the number "1." For example, the number 1 multiplied by any number n equals n. The same is true of an identity matrix multiplied by a matrix of the same size: A × I = A. Note that an identity matrix can have any square dimensions. For example, all of the matrices below are identity matrices. From left to right respectively, the matrices below are a 2 × 2, 3 × 3, and 4 × 4 identity matrix:

um.	0
0	um.

; 　

um.	0	0
0	um.	0
0	0	um.

; 　

um.	0	0	0
0	um.	0	0
0	0	um.	0
0	0	0	um.

...

The n × n identity matrix is thus:

eu._n =

um.	0	0	...	0
0	um.	0	...	0
0	0	um.	...	0
...	...	...	...	...
0	0	0	...	um.

Inverse of a 2 × 2 matrix:

To invert a 2 × 2 matrix, the following equation can be used:

A em^{- 1} =

A.	b.
C.	D em

^{- 1}

um.

D em	-B.
- C.	A.

Detalhes (A)

um.

D em	-B.
- C.	A.

A.C. - Antes de Cristo

Por exemplo, suponha que:

A =

2	quatro.
3	sete.

A em^{- 1} =

um.

sete.	- Quatro
- Três	2

2×7 – 4×3

um.

sete.	- Quatro
- Três	2

3.5 \|	- Dois
- 1,5	um.

Se você quiser testar isso é realmente A em Você encontrará ambos:

2	quatro.
3	sete.

3.5 \|	- Dois
- 1,5	um.

3.5 \|	- Dois
- 1,5	um.

2	quatro.
3	sete.

Equivalente à matriz de unidade:

Eu =

um.	0
0	um.

Matriz inversa da matriz 3 × 3:

Contagem inversa de a 3 × 3 A matriz é mais complicada de calcular. Uma fórmula de cálculo é fornecida abaixo, mas não é calculada. Considerando que:

M =

A.	b.	C.
D em	E.	F em
G. em	Cidade H	eu.

M em^{- 1} =

um.

Detectores (M)

A em	B em	C em
D em	E em	F em
G em	Cidade H	eu.

^{T em}

um.

Detectores (M)

A em	D em	G em
B em	E em	Cidade H
C em	F em	eu.

entre eles:

A em= ei-FH; B em= (di-fg); C em=DH-EG D em= - (bi-ch); E em= ai-CG; F em= (ah-BG) G em= BF-ce; Cidade H= (af-CD); eu.=Ae-BD

4 × 4 Cada vez mais complexo, existem outras maneiras de calculá-los.