Матричный калькулятор
В математическом контексте матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, символов или выражений, расположенных по строкам и столбцам. Матрицы часто используются в научных областях, таких как физика, компьютерная графика, теория вероятности, статистика, исчисление, численный анализ и т.д.
размеры матрицы, АОбычно выражается как М × nСм. Это означает А Есть. М. В порядке и N. Колонки. При упоминании конкретных значений в матрице, называемых элементами, переменные с двумя индексами обычно используются для обозначения местоположения каждого элемента в матрице. Например, дается А.Я, Дж.Где? I = 1 и J = 3г. А.1, 3 Значение элемента в третьем столбце первой строки данной матрицы.
матричные операции, такие как умножение, умножение, вычитание и т.д. Это похоже на то, что большинство людей могут привыкнуть видеть в базовой арифметике и алгебе, но в некоторых отношениях это отличается и подвергается определенным ограничениям. Ниже приведены описания матричных операций, которые может выполнить этот калькулятор.
матрицы плюс
Добавление матриц может быть выполнено только на матрице одного и того же размера. Это означает, что матрица может быть добавлена только в том случае, если обе матрицы. М × nСм. Например, можно добавить два или более. 3 × 3, 1 × 2, или 5 × 4 матрицы. Вы не можете добавить 2 × 3 С одним 3 × 2 матрицы a 4 × 4 С одним 3 × 3и т.д. Число строк и столбцов всех добавленных матриц должно совпадать.
Если размеры матрицы одинаковы, матрицы дополнения выполняются путем добавления соответствующих элементов матрицы. Например, для двух матриц, А и Б.Имеет элементы. А.Я, Дж., и Б.Я, Дж.Добавьте матрицу, добавляя каждый элемент, а затем поместите результат в новую матрицу. Св соответствующем положении в матрице:
В вышеуказанной матрице, А.1, 1 = 1; А.1, 2 = 2; Б.1, 1 = 5; Б.1, 2 = 6•; Подождите. Добавляем соответствующие элементы, чтобы получить СЯ, Дж.См. Добавьте значения в соответствующих строках и столбцах:
| А.1, 1 + b1, 1 = 1 + 5 = 6 = c1, 1 |
| А.1, 2 + b1, 2 = 2 + 6 = 8 = c1, 2 |
| А.2, 1 + b2, 1 = 3 + 7 = 10 = c2, 1 |
| А.2, 2 + b2, 2 = 4 + 8 = 12 = c2, 2 |
Таким образом, матрица С Да:
Вычитать матрицу
Решение матричного вычитания выполняется таким же образом, как и вышеупомянутое матричное добавление, за исключением того, что числовые значения вычитаются, а не добавляются. При необходимости обратитесь к приведенной выше информации и примерам для описания символов, используемых в приведенных ниже примерах. Как и матричная сумма, матрица вычитаемой операции должна иметь одинаковый размер. Если размер матрицы одинаковый, вычитание матрицы выполняется путем вычитания элементов в соответствующих строках и столбцах:
| А.1, 1 - Б.1, 1 = 1 - 5 = -4 = c1, 1 |
| А.1, 2 - Б.1, 2 = 2 - 6 = -4 = c1, 2 |
| А.2, 1 - Б.2, 1 = 3 - 7 = -4 = c2, 1 |
| А.2, 2 - Б.2, 2 = 4 - 8 = -4 = c2, 2 |
Таким образом, матрица С Да:
| с = | |
| Четыре. | Четыре. |
| Четыре. | Четыре. |
| |
|---|
|
Умножение матрицы
Скорректическое умножение:
Умножая каждый элемент матрицы на скалярное, матрицу можно умножить на скалярное значение. Например, для матрицы. А с одним показателем. С:
продуктом. С и А Да:
Умножение матрицы - матрицы:
Умножение двух (или более) матриц сложнее, чем умножение scalar. Чтобы умножить две матрицы, количество столбцов в первой матрице должно совпадать с количеством строк во второй матрице. Например, вы можете взять один 2 × 3 матрица, умноженная на a 3 × 4 матрицы, но не 2 × 3 матрица, умноженная на a Четыре. × 3См.
Можно умножить:
| а = | |
| А.1, 1 | А.1, 2 | А.1, 3 |
| А.2, 1 | А.2, 2 | А.2, 3 |
| |
|---|
|
; б = | |
| Б.1, 1 | Б.1, 2 | Б.1, 3 | Б.1, 4 |
| Б.2, 1 | Б.2, 2 | Б.2, 3 | Б.2, 4 |
| Б.3, 1 | Б.3, 2 | Б.3, 3 | Б.3, 4 |
| |
|---|
|
Нельзя умножаться:
| а = | |
| А.1, 1 | А.1, 2 | А.1, 3 |
| А.2, 1 | А.2, 2 | А.2, 3 |
| |
|---|
|
; б = | |
| Б.1, 1 | Б.1, 2 | Б.1, 3 |
| Б.2, 1 | Б.2, 2 | Б.2, 3 |
| Б.3, 1 | Б.3, 2 | Б.3, 3 |
| Б.4, 1 | Б.4, 2 | Б.4, 3 |
| |
|---|
|
При умножении матрицы, А × Б не обязательно равны Б × АСм. На самом деле, только потому, что А Можно умножить Б. Это не означает Б. Можно умножить АСм.
Если матрица имеет правильный размер и может быть умножена, матрица умножается путем выполнения продукта точек. Продукт включает в себя умножение соответствующего элемента в строке первой матрицы на соответствующий элемент в столбце второй матрицы, а затем суммирование результата, чтобы получить значение. Дополнение точек может быть выполнено только в последовательности одинаковой длины. Вот почему число столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй матрицы.
Затем продукт точек становится значениями в соответствующих строках и столбцах новой матрицы, ССм. Например, из вышеуказанной умножаемой матрицы, синяя строка в А Умножается на синий столбец Б. Определение значений в первом столбце первой строки матрицы ССм. Это называется конъюнктом первой строки. А и в первой колонке Б.:
А.1, 1× b1, 1 + а1, 2× b2, 1 + а1, 3× b3, 1 = c1, 1
Для каждой строки выполняется А Каждая колонка Б. До тех пор, пока не будут выполнены все комбинации обоих, чтобы найти значение соответствующего элемента в матрице. ССм. Например, когда вы выполняете продукт точек в строке 1 А и в первой колонке Б.Результат будет С1, 1 из матрицы. ССм. Точка в строке 1 А и вторую колонку Б. Будет С1, 2 из матрицы. С, и так далее, как показано в следующем примере:
| а = | |
| Один. | 2 | Один. |
| 3 | Четыре. | Один. |
| |
|---|
| ; б = | |
| 5 | 6 | Один. | Один. |
| Семь. | 8 | Один. | Один. |
| Один. | Один. | Один. | Один. |
| |
|---|
|
В этом случае, когда две матрицы умножаются, число строк в результативной матрице будет равным числу строк в первой матрице. Аи одинаковое количество столбцов, как вторая матрица, Б.См. Поскольку А Да. 2 × 3 и Б. Да. 3 × Четыре.г. С Будет один 2 × Четыре. матрицы. Цвет здесь, во-первых, помогает определить, можно ли умножить две матрицы, а во-вторых, помогает определить размеры матрицы результата. Далее мы можем определить значение элемента. С Выполнить продукт точек в каждой строке и столбце, как показано ниже:
| с = | |
| 20 | 23 | Четыре. | Четыре. |
| 44 | 51 | 8 | 8 |
| |
|---|
|
Количество пунктов в каждой строке и столбце рассчитывается следующим образом. С отображается как:
| С1, 1 = 1×5 + 2×7 + 1×1 = 20 |
| С1, 2 = 1×6 + 2×8 + 1×1 = 23 |
| С1, 3 = 1×1 + 2×1 + 1×1 = 4 |
| С1, 4 = 1×1 + 2×1 + 1×1 = 4 |
| С2, 1 = 3×5 + 4×7 + 1×1 = 44 |
| С2, 2 = 3×6 + 4×8 + 1×1 = 51 |
| С2, 3 = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8 |
| С2, 4 = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8 |
энтропия матрицы.
Для этого калькулятора «подразделение матрицы» относится кподразделению данной матрицы. Например, при использовании калькулятора, приведенной матрицей «помер 2», АЭто означает А2См. Помимо правила умножения матрицы, матричные экспоненты выполняют те же функции, что и обычные функции в математике, поэтому только квадратные матрицы (матрицы с одинаковым числом строк и столбцов) могут быть повышены до энтропии. Это связано с не квадратной матрицей, АНельзя умножаться на себя. А × АВ этом случае невозможно рассчитать. При необходимости ознакомьтесь с разделом умножения матриц, чтобы узнать, как выполнить умножение матрицы. Принимая во внимание:
А 2 энтропия — это:
Как и в других математических контекстах, А3будет равняться А × А × Аг. АЧетыре. будет равняться А × А × А × АПодожди.
Перемещение матрицы
Перемещение матрицы (обычно обозначается «T» как экспоненциальный) является операцией, которая переворачивает матрицу по диагонали матрицы. Это приводит к обмену индексов строк и столбцов матрицы, что означает А.В шее В матрице. Апревратиться в А.Невротический (англ. Jittery) В АТСм. При необходимости обратитесь к описанию используемых символов выше.
I. Один М × n матрица, перемещение, таким образом, станет n × m матрицы, как показано в следующем примере:
| а = | |
| АТ = | |
| б = | |
| 20 | 23 | Четыре. | Четыре. |
| 44 | 51 | 8 | 8 |
| |
|---|
|
| Б.Т = | |
| 20 | 44 |
| 23 | 51 |
| Четыре. | 8 |
| Четыре. | 8 |
| |
|---|
|
строки матрицы.
Формулировка матрицы — это значения, которые могут быть вычислены из элементов матрицы. Он используется для линейной алгебры, исчисления и другого математического контента. Например, строговая формула может быть использована для вычисления обратной матрицы матрицы или для решения линейных уравнений.
Существует множество методов и формул вычисления матрицы. Формула Лейбница и формула Лапласа являются двумя наиболее часто используемыми формулами.
2 × 2 матрицы:
Уровни а 2 × 2 Матрицы можно вычислить с использованием формулы Лейбница, которая включает в себя некоторые основные арифметики. Указанная матрица А:
в рядах. А Формула Лейбница используется:
Обратите внимание, что строки обычно обозначаются «||» вокруг данной матрицы. Принимая во внимание:
3 × 3 матрицы:
Одним из способов вычисления является 3 × 3 Матрицы получены с помощью формулы Лапласа. И формула Лапласа, и формула Лейбница могут быть представлены математически, но речь идет об использовании символов и концепций, которые здесь не обсуждаются. Ниже приведен пример того, как вычислить формулу a с использованием формулы Лапласа. 3 × 3 матрицы:
Отсюда мы можем использовать формулу Лейбница для вычисления a. 2 × 2 Матрица вычисляет последовательность матрицы 2 × 2, так как скалярное умножение матрицы просто умножает все значения матрицы на scale, поэтому мы можем 2 × 2 Шкала выражается следующим образом:
| |a|= | |
| = |
a (ei-FH) - b (di-fg) + c (DH-eg)
|
Это может быть еще более упрощено:
|A| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
Это формула Лейбница. 3 × 3 матрицы.
4 × 4 матрицы и выше:
Уровни а 4 × 4 матрицы и более продвинутые методы вычислений 3 × 3Используйте формулу Лапласа или формулу Лейбница. Как в приведенном выше примере. 3 × 3 Матрица, вы можете заметить шаблон, который позволяет «упростить» заданную матрицу до скалярного, умноженного на ряд уменьшенной матрицы измерения, то есть 4 × 4 сокращается до ряда масштабов, умноженных на 3 × 3 матрицы, в которых каждая последующая пара Скоральная × упрощенная матрица Попеременно меняются знаки (т.е. знаки добавляются или вычитаются).
Процесс включает циклический переход по каждому элементу в первой строке матрицы. В конце концов, мы получим выражение, в котором каждый элемент в первой строке умножается на матрицу низкого измерения (ниже исходной матрицы). Элементы матрицы низких измерений определяются путем маскировки строк и столбцов, к которым принадлежит выбранный скаляр, а остальные элементы составляют матрицу низких измерений. Пожалуйста, ознакомьтесь с приведенными ниже примерами.
Сначала мы выбираем элементы. А.См. Синий элемент является скалярным. А.и станет 3 × 3 Нужно найти строение матрицы:
| |a|= |
| А. | Б. | С | Д. |
| E. | F | G. | Н |
| Я. | J. | К | L |
| М. | N. | О | П |
|
| = |
|
Далее мы выбираем элементы. Б.:
| А. | Б. | С | Д. |
| E. | F | G. | Н |
| Я. | J. | К | L |
| М. | N. | О | П |
| & rArr |
|
Продолжить с элементами таким же образом С и Д., и чередуются символы (- + - ...) для каждого термина:
| |a|= |
| А. | Б. | С | Д. |
| E. | F | G. | Н |
| Я. | J. | К | L |
| М. | N. | О | П |
|
|
|
|
Мы продолжим этот процесс. 3 × 3 матрицы (как показано выше), пока мы не уменьшаем 4 × 4 Преобразование матрицы в скалярное умножение на 2 × 2 Матрица, в которой мы можем вычислить рядную формулу, используя формулу Лейбница. Можно видеть, что это быстро становится скучным, но это один из видов, который можно использовать для n × n Как только вы поняли модель. Существуют и другие способы более эффективного вычисления строения матрицы, но требуется понимание других математических понятий и символов.
Инверсия матрицы
Обратная матрица матрицы А обозначается как А-1Где? А-1 Да, противоположные слова. А Если следующее истинно:
А × А-1 = а-1× A = I, где Я. единицы матрицы.
Личность матрицы:
Единичная матрица представляет собой квадратную матрицу с «1» на диагонали и «0» в других местах. Матрица единиц — это эквивалентная матрица числа «1». Например, число 1 умножается на любое число. N. равны N.См. То же самое можно сказать и о матрице с единицей, умноженной на матрицу одинакового размера: A × I = AСм. Обратите внимание, что единичная матрица может иметь любое квадратное измерение. Например, все следующие матрицы являются матрицами единиц. Слева направо — это 2 × 2г. 3 × 3, и 4 × 4 Личность матрицы:
| ; | | ; | |
| Один. | 0 | 0 | 0 |
| 0 | Один. | 0 | 0 |
| 0 | 0 | Один. | 0 |
| 0 | 0 | 0 | Один. |
| |
|---|
| ... |
Вот это n × n Таким образом, матрица единиц является:
| Я.N. = | |
| Один. | 0 | 0 | ... | 0 |
| 0 | Один. | 0 | ... | 0 |
| 0 | 0 | Один. | ... | 0 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 0 | 0 | 0 | ... | Один. |
| |
|---|
|
Обратная матрица матрицы 2 × 2:
Обратить один 2 × 2 Для матрицы можно использовать следующее уравнение:
Например, предположим:
Если вы хотите проверить это на самом деле А Вы найдете оба:
Единая матрица:
Инверсия матрицы 3 × 3:
обратный показатель a 3 × 3 Вычисление матрицы сложнее. Ниже приведена формула расчета, но она не будет выполнена. Принимая во внимание:
В том числе:
А= ei-FH; Б.= - (di-fg); С=DH-EG
Д.= - (bi-ch); Е= AI-CG; Ф=-(ah-BG)
G.= BF-ce; Х= (af-CD); Я.= AE-BD
4 × 4 Все сложнее и сложнее, есть и другие способы их расчета.
