máy tính ma trận
Trong ngữ cảnh toán học, một ma trận là một ma trận hình chữ nhật của các số, biểu tượng hoặc biểu thức được sắp xếp theo hàng và cột. ma trận thường được sử dụng trong các lĩnh vực khoa học như vật lý, đồ họa máy tính, lý thuyết xác suất, thống kê, giải tích, phân tích số.
kích thước của ma trận, a, thường được biểu thị như M × Nvâng. Điều đó có nghĩa là a Có M Dòng và N cột. Khi tham chiếu một giá trị cụ thể trong một ma trận, được gọi là các phần tử, bạn thường sử dụng một biến với hai chỉ số để biểu diễn vị trí của mỗi phần tử trong ma trận. Ví dụ, nếu bạn cho aTôi, JỞ đâu i = 1 và j = 3, aMột, ba là giá trị của các thành phần trong hàng thứ ba của ma trận đầu tiên.
các phép tính ma trận, như cộng, nhân, trừ, v. v. , tương tự như những gì hầu hết mọi người có thể đã quen với việc nhìn thấy trong số học cơ bản và đại số, nhưng nó khác biệt theo một số cách và có một số hạn chế. Dưới đây là mô tả của các phép tính ma trận mà máy tính này có thể thực hiện.
cộng ma trận
ma trận chỉ có thể được thực hiện trên một ma trận cùng kích thước. điều này có nghĩa là bạn chỉ có thể thêm một ma trận nếu cả hai ma trận M × Nvâng. ví dụ, bạn có thể thêm hai hoặc hơn 3 × 3, 1 × 2, hoặc 5 × 4 ma trận. Bạn không thể thêm 2 × 3 và một người 3 × 2 Ma trận A 4 × 4 và một người 3 × 3chờ đã. số hàng và cột của tất cả các ma trận mà bạn thêm vào phải khớp chính xác.
Nếu kích thước ma trận giống nhau, sự gia tăng ma trận được thực hiện bằng cách thêm các phần tử tương ứng trong ma trận. ví dụ, cho hai ma trận, a và bvới các phần tử aTôi, J, và BTôi, Jbạn thêm ma trận bằng cách thêm từng phần tử, và sau đó đặt kết quả vào ma trận mới, c, tại vị trí tương ứng trong ma trận:
trong ma trận trên, aMột, một = 1; aMột, hai = 2; BMột, một = 5; BMột, hai = 6; Đợi đã. chúng tôi thêm vào các yếu tố để có được CTôi, Jvâng. Tổng các giá trị trong các hàng và cột tương ứng:
| aMột, một + BMột, một = 1 + 5 = 6 = cMột, một |
| aMột, hai + BMột, hai = 2 + 6 = 8 = CMột, hai |
| aHai, một + BHai, một = 3 + 7 = 10 = CHai, một |
| aHai, hai + BHai, hai = 4 + 8 = 12 = CHai, hai |
Vậy, ma trận c Có:
ma trận trừ
ma trận trừ thực hiện về cơ bản giống như ma trận tổng trên, ngoại trừ việc sử dụng các giá trị là các phần trừ hơn là các giá trị gia tăng. xem thông tin và ví dụ trên để biểu tượng được sử dụng trong ví dụ dưới đây nếu cần thiết. Giống như phép cộng ma trận, ma trận của phép tính trừ phải có cùng kích thước. nếu kích thước ma trận giống nhau, việc trừ các phần tử trong hàng và cột tương ứng sẽ thực hiện:
| aMột, một B. BMột, một = 1 - 5 = -4 = CMột, một |
| aMột, hai B. BMột, hai = 2 - 6 = -4 = CMột, hai |
| aHai, một B. BHai, một = 3 - 7 = -4 = CHai, một |
| aHai, hai B. BHai, hai = 4 - 8 = -4 = CHai, hai |
Vậy, ma trận c Có:
phép nhân ma trận
nhân số lượng:
Bạn có thể nhân một ma trận với giá trị quy mô bằng cách nhân mỗi thành phần của ma trận với giá trị quy mô. ví dụ, cho một ma trận a và một cái scale Ccâu hỏi:
sản phẩm của nó C và a Có:
ma trận-phân nhân ma trận:
hai (hoặc nhiều) ma trận được nhân lên phức tạp hơn là nhân lên. Để nhân hai ma trận, số cột trong ma trận đầu tiên phải khớp với số cột trong ma trận thứ hai. Ví dụ, bạn có thể thay đổi 2 × 3 ma trận nhân a 3 X bốn ma trận, nhưng không phải 2 × 3 ma trận nhân a bốn × 3vâng.
chúng ta có thể nhân lên nhau:
| a = | |
| aMột, một | aMột, hai | aMột, ba |
| aHai, một | aHai, hai | aHai, ba |
| |
|---|
|
; B= | |
| BMột, một | BMột, hai | BMột, ba | B1, 4 |
| BHai, một | BHai, hai | BHai, ba | BHai, bốn |
| BBa, một | BBa, hai | BBa, ba | BBa, bốn |
| |
|---|
|
không thể nhân đôi:
| a = | |
| aMột, một | aMột, hai | aMột, ba |
| aHai, một | aHai, hai | aHai, ba |
| |
|---|
|
; B= | |
| BMột, một | BMột, hai | BMột, ba |
| BHai, một | BHai, hai | BHai, ba |
| BBa, một | BBa, hai | BBa, ba |
| BBốn, một | BBốn, hai | BBốn, ba |
| |
|---|
|
Hãy chú ý rằng khi ma trận được nhân lên, A × B không nhất thiết phải bằng b × avâng. Trên thực tế, chỉ bởi vì a bạn có thể nhân lên b không có nghĩa là b bạn có thể nhân lên avâng.
nếu kích thước ma trận là đúng và có thể được nhân lên, ma trận sẽ được nhân lên bằng việc thực hiện sản phẩm. Kết quả bao gồm việc nhân các phần tử tương ứng trong hàng của ma trận thứ nhất với các phần tử tương ứng trong cột của ma trận thứ hai, sau đó tổng các kết quả cho một giá trị. bạn chỉ có thể thực hiện một chuỗi độ dài bằng nhau. đó là lý do tại sao số cột của ma trận thứ nhất phải khớp với số cột của ma trận thứ hai.
sau đó tích lũy điểm trở thành các giá trị trong hàng và cột tương ứng của ma trận mới, cvâng. ví dụ, từ ma trận có thể nhân lên trên, dòng màu xanh trong a nhân thanh màu xanh bên trong b Xác định giá trị trong cột đầu tiên của hàng đầu tiên của ma trận cvâng. Điều này được gọi là sản phẩm của dòng 1 a Cột 1 của và bcâu hỏi:
aMột, mộtBắt đầu nàoMột, một +AMột, haiBắt đầu nàoHai, một +AMột, baBắt đầu nàoBa, một = cMột, một
Kết quả các điểm trên mỗi dòng a Mỗi cột b cho đến khi tất cả các kết hợp của cả hai để tìm các giá trị của các thành phần tương ứng trong ma trận cvâng. ví dụ, khi bạn thực hiện các điểm trên dòng 1 a Cột 1 của và b, kết quả sẽ là CMột, một ma trận cvâng. của dòng 1 a và cột 2 b sẽ có CMột, hai ma trận c, và tương tự như trong ví dụ sau:
| a = | | ; B= | |
| 5 | 6 | Một | Một |
| bảy | 8 | Một | Một |
| Một | Một | Một | Một |
| |
|---|
|
Trong trường hợp này, khi hai ma trận được nhân lên, ma trận kết quả sẽ có cùng số hàng như ma trận đầu tiên avà cùng số cột như ma trận thứ hai, bvâng. bởi vì a Vâng 2 Vâng 3 và b Vâng 3 Vâng bốn, c sẽ là một nơi 2 Vâng bốn ma trận. Màu sắc ở đây có thể giúp xác định liệu hai ma trận có được nhân lên hay không, và thứ hai có thể giúp xác định các kích thước của ma trận kết quả. Tiếp theo, chúng ta có thể xác định giá trị của các yếu tố c bằng việc thực hiện mỗi hàng và cột như sau:
của mỗi hàng và cột được tính toán như sau c Hiển thị như:
| CMột, một = 1×5 + 2×7 + 1×1 = 20 |
| CMột, hai = 1×6 + 2×8 + 1×1 = 23 |
| CMột, ba = 1×1 + 2×1 + 1×1 = 4 |
| C1, 4 = 1×1 + 2×1 + 1×1 = 4 |
| CHai, một = 3×5 + 4×7 + 1×1 = 44 |
| CHai, hai = 3×6 + 4×8 + 1×1 = 51 |
| CHai, ba = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8 |
| CHai, bốn = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8 |
của ma trận
đối với máy tính tay này, entropy của ma trận là entropy của ma trận đã cho. Ví dụ, khi bạn sử dụng một máy tính tay, cho phép bạn có" lượng của 2" của ma trận, a, nghĩa là a2vâng. Ngoại trừ việc áp dụng các quy tắc nhân ma trận, chỉ số ma trận có chức năng giống như chức năng bình thường trong toán học, vì vậy chỉ có một ma trận vuông (một ma trận có cùng số hàng và cột) có thể được nâng lên một khung. Đó là bởi vì ma trận phi hình vuông, akhông thể nhân với chính nó. A × Atrong trường hợp này, bạn không thể tính toán. nếu cần thiết, xem lại cách thực hiện phép nhân ma trận trong phần số nhân ma trận. Trong khi đó:
a số 2 là:
| a2 Đúng rồi | |
| Đúng rồi |
|
| Đúng rồi | |
và cũng giống như các chỉ số trong các ngữ cảnh toán học khác, a3, tương đương A × A × A, abốn sẽ bằng a × a × a × achờ đã.
ma trận chuyển đổi
Độ dịch của ma trận (thường được biểu diễn bằng “T”) là một thao tác lật ma trận theo đường chéo của ma trận. điều này dẫn đến việc trao đổi các chỉ mục cột và hàng của ma trận, có nghĩa là acổ họng trong ma trận a, trở thành aThật là điên rồ đang atvâng. xem các biểu tượng được sử dụng ở trên nếu cần thiết.
một; Một người M × N ma trận, chuyển đổi, và như vậy sẽ trở thành N-M ma trận, như trong ví dụ sau:
| a = | |
| at Đúng rồi | |
| B= | |
| bt Đúng rồi | |
của ma trận
một hàng của ma trận là một giá trị có thể được tính toán từ các phần tử của ma trận. nó được sử dụng cho đại số tuyến tính, giải tích và các nội dung toán học khác. Ví dụ, một kiểu hàng có thể được sử dụng để tính toán ma trận đảo của một ma trận hoặc để giải quyết các phương trình tuyến tính.
có nhiều phương pháp và công thức để tính toán một ma trận. công thức leibniz và công thức laplace là hai công thức thường được sử dụng.
chuỗi 2 × 2 ma trận:
Dòng A 2 × 2 ma trận có thể được tính toán bằng công thức leibniz, nó liên quan đến một số tính toán cơ bản. cho ma trận acâu hỏi:
của thế giới bên ngoài a sử dụng công thức của leibniz:
lưu ý rằng các hàng được thường biểu diễn bằng"||" quanh ma trận đã cho. Trong khi đó:
| |a|= | | Đúng rồi | 2×8 – 4×6 | Đúng rồi | Tám |
hàng của ma trận 3 x 3:
một cách để tính toán một hàng 3 × 3 ma trận được lấy bằng cách sử dụng công thức của laplace. Công thức Laplace và công thức Leibniz có thể được diễn tả bằng phương pháp toán học, nhưng việc sử dụng các ký hiệu và khái niệm không được thảo luận ở đây. Dưới đây là một ví dụ về cách sử dụng công thức Laplace để tính toán một hàng của A 3 × 3 ma trận:
từ điểm này, chúng ta có thể tính toán a với công thức của leibniz 2 × 2 ma trận để tính toán các hàng của ma trận 2 × 2, vì phép nhân số của ma trận chỉ đơn giản là nhân tất cả các giá trị của ma trận với số lượng, vì vậy chúng ta có thể tính toán 2 × 2 các biểu diễn bằng số lượng như sau:
| |a|= | |
| Đúng rồi |
a (ei-fh)-b (di-fg) + c (dh-eg)
|
nó có thể được đơn giản hóa thành:
|A| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
đây là công thức của leibniz 3 × 3 ma trận.
ma trận 4 × 4 và cao hơn:
Dòng A 4 × 4 ma trận và các phương pháp tính toán cao hơn 3 × 3sử dụng công thức laplace hoặc công thức leibniz. giống như trong ví dụ trên 3 × 3 ma trận, bạn có thể nhận thấy một mô hình mà cho phép bạn" đơn giản hóa" một ma trận cho một số nhân với một hàng của ma trận giảm kích thước, cụ thể là 4 × 4 được đơn giản hóa thành một chuỗi nhân số 3 × 3 ma trận, trong đó mỗi cặp tiếp theo phép đo lường × đơn giản hóa ma trận các biểu tượng dương và âm thay thế (tức là, các biểu tượng dương và âm thêm vào hoặc trừ đi).
quy trình này bao gồm vòng qua từng phần tử của hàng đầu tiên của ma trận. Cuối cùng, chúng ta sẽ có một biểu thức mà mỗi thành phần trong dòng đầu tiên sẽ được nhân với một ma trận nhỏ hơn (thấp hơn ma trận ban đầu). Các phần tử của ma trận có kích thước thấp được xác định bởi việc che khuất các hàng và các cột mà kích thước lựa chọn thuộc; các phần còn lại tạo thành ma trận có kích thước thấp. xem các ví dụ dưới đây để minh họa.
ở đây, chúng tôi chọn các yếu tố đầu tiên avâng. Các yếu tố màu xanh lá cây là phần số, avà sẽ trở thành 3 × 3 chúng ta cần tìm ra sự sắp xếp của ma trận:
Tiếp theo, chúng tôi chọn các phần tử Bcâu hỏi:
Tiếp tục cùng một cách đối với các phần tử C và Dvà thay thế các ký hiệu (-+...) cho mỗi thuật ngữ:
chúng tôi sẽ tiếp tục tiến trình này 3 × 3 ma trận (như ở trên) cho đến khi chúng ta giảm 4 × 4 ma trận chuyển đổi thành số nhân 2 × 2 ma trận, nơi chúng ta có thể dùng công thức của leibniz để tính toán. Bạn có thể thấy, nó nhanh chóng trở nên nhàm chán, nhưng nó là một công cụ N-N-N một khi bạn đã hiểu được mô hình. Có các phương pháp khác để tính toán một ma trận một cách hiệu quả hơn, nhưng bạn cần phải hiểu các khái niệm toán học và các biểu tượng khác.
đảo ngược của ma trận
ma trận đảo ngược của ma trận a được thể hiện như aMộtỞ đâu aMột Phải, ngược lại a Nếu như sau được thực hiện:
a × aMột = aMột× A = I, trong đó Tôi à là ma trận đơn vị
ma trận nhận dạng:
Ma trận đơn vị là một ma trận hình vuông với" 1" ở đường chéo và" 0" ở bất cứ nơi nào khác. ma trận đơn vị là ma trận tương đương với số" 1". Ví dụ, số 1 nhân với bất cứ số nào N tương đương Nvâng. ma trận đơn vị nhân với ma trận cùng kích thước cũng tương tự: A × I = Avâng. lưu ý rằng ma trận đơn vị có thể có bất kỳ kích thước bình phương nào. ví dụ, tất cả các ma trận dưới đây là các ma trận đơn vị. từ trái sang phải 2 × 2, 3 × 3, và 4 × 4 ma trận nhận dạng:
| ; | | ; | |
| Một | 0 | 0 | 0 |
| 0 | Một | 0 | 0 |
| 0 | 0 | Một | 0 |
| 0 | 0 | 0 | Một |
| |
|---|
| Cái gì |
cái này N-N-N vì vậy, ma trận đơn vị là:
| Tôi àN Đúng rồi | |
| Một | 0 | 0 | Cái gì | 0 |
| 0 | Một | 0 | Cái gì | 0 |
| 0 | 0 | Một | Cái gì | 0 |
| Cái gì | Cái gì | Cái gì | Cái gì | Cái gì |
| 0 | 0 | 0 | Cái gì | Một |
| |
|---|
|
ma trận đảo ngược của ma trận 2 x 2:
đảo ngược một 2 × 2 ma trận, bạn có thể sử dụng phương trình sau:
| aMột Đúng rồi | |
| Đúng rồi |
|
| Đúng rồi |
| Một | | | | | công nguyên-trước công nguyên |
|
Ví dụ:
| aMột Đúng rồi |
|
| Đúng rồi |
|
| Đúng rồi |
|
Và nếu bạn muốn kiểm tra nó a bạn sẽ thấy cả hai:
Matrix đơn vị:
ma trận đảo ngược của ma trận 3 x 3:
đếm ngược của a 3 × 3 ma trận khó tính hơn nhiều. một công thức tính toán được cung cấp dưới đây nhưng không tính toán. Trong khi đó:
trong đó:
a= ei-fh; b=-(di-fg); cĐúng thế
d)=-(bi-ch); E= ai-cg; f=-(Ah-BG)
GBF-CE: h=-(AF-CD); Tôi à=AE-BD
4 × 4 ngày càng phức tạp, và có những cách khác để tính toán chúng.
