مصفوفة حاسبة

في سياق الرياضيات، المصفوفة عبارة عن مجموعة مستطيلة من الأرقام أو الرموز أو التعبيرات المرتبة في الصفوف والأعمدة. غالبًا ما تستخدم المصفوفات في المجالات العلمية مثل الفيزياء ورسومات الكمبيوتر ونظرية الاحتمالات والإحصاءات والتكامل والتحليل العددي.

أبعاد المصفوفة، أوعادة ما يقال بأن m × n. وهذا يعني أ نعم م نعم و N العمود. عند الإشارة إلى قيمة محددة في المصفوفة (تسمى العناصر) ، عادة ما يتم استخدام المتغيرات مع مؤشرين أسفلين لتمثيل مكان كل عنصر في المصفوفة. على سبيل المثال، تعطى أ_{أنا، J}و أين i = 1 و J = 3، أ_{1 , 3} هي قيمة العنصر في العمود الثالث من الصف الأول للمصفوفة المعينة.

عمليات المصفوفة مثل إضافة، مضاعفة، ناقص، إلخ. على غرار ما قد يعتاد معظم الناس على رؤيته في الحساب الأساسي والجبر ، ولكنه يختلف في بعض النواحي ويخضع لقيود معينة. فيما يلي وصف لعمليات المصفوفة التي يمكن أن تقوم بها هذه الآلة الحاسبة.

مصفوفة إضافة

يمكن تنفيذ إضافة المصفوفة فقط على المصفوفة بنفس الحجم. وهذا يعني أنه لا يمكن إضافة مصفوفة إلا إذا كلا المصفوفتين هما. m × n. على سبيل المثال ، يمكنك إضافة اثنين أو أكثر 3 × 3, 1 × 2أو أو 5 × 4 المصفوفة. لا يمكنك إضافة 2 × 3 مع واحد 3 × 2 المصفوفة أ 4 × 4 مع واحد 3 × 3الانتظار. يجب أن يتطابق عدد الصفوف والأعمدة لجميع المصفوفات المضافة بالضبط.

إذا كان حجم المصفوفة هو نفسه ، يتم إجراء إضافة المصفوفة عن طريق إضافة العناصر المقابلة في المصفوفة. على سبيل المثال ، مع اثنين من المصفوفات ، أ و بيحتوي على عنصر أ_{أنا، J}و، و ب_{أنا، J}إضافة مصفوفة عن طريق إضافة كل عنصر ، ثم ضع النتائج في مصفوفة جديدة ، Cفي المكان المناسب في المصفوفة:

أ =

الأول	2
3	رابعا

; ب =

5	6
سبعة	8

وفي المصفوفة المذكورة أعلاه، أ_{1 1} = 1; أ_{1 , 2} = 2; ب_{1 1} = 5; ب_{1 , 2} = 6; انتظر. نضيف العناصر المناسبة للحصول على C_{أنا، J}. إضافة القيم الموجودة في الصفوف والأعمدة المقابلة:

أ_{1 1} + b_{1 1} = 1 + 5 = 6 = C_{1 1}

أ_{1 , 2} + b_{1 , 2} = 2 + 6 = 8 = C_{1 , 2}

أ_{2 1 1} + b_{2 1 1} = 3 + 7 = 10 = C_{2 1 1}

أ_{2 , 2} + b_{2 , 2} = 4 + 8 = 12 = ج_{2 , 2}

وبالتالي فإن المصفوفة C نعم :

C =

6	8
10	12

مصفوفة الطرح

يتم تنفيذ الطرح المصفوفة بشكل أساسي بنفس طريقة إضافة المصفوفة المذكورة أعلاه ، باستثناء أن القيم يتم طرحها بدلاً من إضافةها. إذا لزم الأمر، يرجى الرجوع إلى المعلومات والأمثلة أعلاه لتوضيح الرموز المستخدمة في الأمثلة أدناه. مثل إضافة المصفوفة، يجب أن تكون المصفوفة التي يتم طرحها بنفس الحجم. إذا كان حجم المصفوفة هو نفسه، يتم تنفيذ الطرح المصفوفة عن طريق طرح العناصر في الصفوف والأعمدة المقابلة:

أ =

الأول	2
3	رابعا

; ب =

5	6
سبعة	8

أ_{1 1} - ب_{1 1} = 1 - 5 = -4 = C_{1 1}

أ_{1 , 2} - ب_{1 , 2} = 2 - 6 = -4 = C_{1 , 2}

أ_{2 1 1} - ب_{2 1 1} = 3 - 7 = -4 = C_{2 1 1}

أ_{2 , 2} - ب_{2 , 2} = 4 - 8 = -4 = C_{2 , 2}

وبالتالي فإن المصفوفة C نعم :

C =

-4	-4
-4	-4

مضاعفة المصفوفة

مضاعف المقياس:

عن طريق ضرب كل عنصر في المصفوفة في المقياس ، يمكن ضرب المصفوفة بالقيمة المقياس. على سبيل المثال ، توفر مصفوفة أ مع مقياس واحد C:

أ =

الأول	2
3	رابعا

; C = 5

المنتجات. C و أ نعم :

5 ×

الأول	2
3	رابعا

5	10
15	20

المصفوفة - مضاعف المصفوفة:

ضرب اثنين (أو أكثر) من مصفوفة هو أكثر تعقيدًا من مضاعفة المقياس. لضرب اثنين من المصفوفة، يجب أن يتطابق عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مع عدد الصفوف في المصفوفة الثانية. على سبيل المثال ، يمكنك إدخال واحدة 2 × 3 المصفوفة مضاعفة a 3 × 4 مصفوفة، ولكن ليس 2 × 3 المصفوفة مضاعفة a رابعا × 3.

يمكن مضاعفة:

أ =

أ_{1 1}	أ_{1 , 2}	أ_{1 , 3}
أ_{2 1 1}	أ_{2 , 2}	أ_{2 , 3}

; ب =

ب_{1 1}	ب_{1 , 2}	ب_{1 , 3}	ب_{1 4}
ب_{2 1 1}	ب_{2 , 2}	ب_{2 , 3}	ب_{2 , 4}
ب_{3 1 1}	ب_{3 , 2}	ب_{3 , 3}	ب_{3 , 4}

لا يمكن تضاعف:

أ =

أ_{1 1}	أ_{1 , 2}	أ_{1 , 3}
أ_{2 1 1}	أ_{2 , 2}	أ_{2 , 3}

; ب =

ب_{1 1}	ب_{1 , 2}	ب_{1 , 3}
ب_{2 1 1}	ب_{2 , 2}	ب_{2 , 3}
ب_{3 1 1}	ب_{3 , 2}	ب_{3 , 3}
ب_{4 , 1}	ب_{4 , 2}	ب_{4 , 3}

لاحظ أنه عندما يتم ضرب المصفوفة ، أ × ب لا يساوي بالضرورة B × A. في الواقع، فقط لأن أ يمكن مضاعفة ب هذا لا يعني ب يمكن مضاعفة أ.

إذا كان حجم المصفوفة صحيحًا ويمكن ضربه ، فسيتم ضرب المصفوفة عن طريق تنفيذ المنتج النقطي. يتضمن المنتج النقطي ضرب العناصر المقابلة في صف المصفوفة الأول بالعناصر المقابلة في العمود في المصفوفة الثانية ، ثم جمع النتيجة للحصول على قيمة. لا يمكن تنفيذ النقاط إلا على سلسلة متساوية الطول. هذا هو السبب في أن عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يجب أن يتطابق مع عدد الصفوف في المصفوفة الثانية.

ثم يتحول المنتج إلى القيم المقابلة في الصفوف والأعمدة للمصفوفة الجديدة ، C. على سبيل المثال، من المصفوفة القابلة للضرب أعلاه، السطر الأزرق في أ مضاعفة العمود الأزرق ب تحديد القيمة في العمود الأول من الصف الأول للمصفوفة C. وهذا ما يسمى النقاط في السطر 1 أ وفي العمود الأول ب:

أ_{1 1}× b_{1 1} + أ_{1 , 2}× b_{2 1 1} + أ_{1 , 3}× b_{3 1 1} = C_{1 1}

تنفيذ النقاط لكل سطر أ لكل عمود ب حتى يتم الانتهاء من جميع الجمع بين الاثنين من أجل العثور على قيمة العنصر المقابل في المصفوفة C. على سبيل المثال، عندما تقوم بتجميع نقاط في الصف 1 أ وفي العمود الأول بوالنتيجة ستكون C_{1 1} من المصفوفة C. النقاط في الصف الأول أ وفي العمود الثاني ب سيكون C_{1 , 2} من المصفوفة Cعلى سبيل المثال، كما هو موضح في المثال التالي:

أ =

الأول	2	الأول
3	رابعا	الأول

; ب =

5	6	الأول	الأول
سبعة	8	الأول	الأول
الأول	الأول	الأول	الأول

في هذه الحالة ، عندما يتم ضرب اثنين من المصفوفات ، يكون عدد الصفوف في المصفوفة الناتجة هو نفسه عدد الصفوف في المصفوفة الأولى. أوبنفس العدد من الأعمدة مثل المصفوفة الثانية، ب. لأن أ نعم 2 × 3 و ب نعم 3 × رابعا، C سيكون واحدا 2 × رابعا المصفوفة. تساعد الألوان هنا أولاً على تحديد ما إذا كان يمكن ضرب اثنين من المصفوفات ، وثانياً ، تساعد في تحديد أبعاد المصفوفة الناتجة. بعد ذلك ، يمكننا تحديد قيمة العنصر C عن طريق تنفيذ النقاط لكل صف وكل عمود، على النحو التالي:

C =

20	23	رابعا	رابعا
44	51	8	8

يتم حساب النقاط لكل صف وكل عمود على النحو التالي C تظهر على أنها:

C_{1 1} = 1 × 5 + 2 × 7 + 1 × 1 = 20

C_{1 , 2} = 1 × 6 + 2 × 8 + 1 × 1 = 23

C_{1 , 3} = 1 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 4

C_{1 4} = 1 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 4

C_{2 1 1} = 3 × 5 + 4 × 7 + 1 × 1 = 44

C_{2 , 2} = 3 × 6 + 4 × 8 + 1 × 1 = 51

C_{2 , 3} = 3 × 1 + 4 × 1 + 1 × 1 = 8

C_{2 , 4} = 3 × 1 + 4 × 1 + 1 × 1 = 8

الزئبق في المصفوفة

بالنسبة لهذه الآلة الحاسبة ، "إطار المصفوفة" يشير إلى إطار مصفوفة معينة. على سبيل المثال، عند استخدام آلة حاسبة، مع إعطاء مصفوفة "2 إطارات"، أوهذا يعني أ². وبصرف النظر عن قاعدة مزيج المصفوفة التي تنطبق أيضًا ، فإن مؤشر المصفوفة يعمل بنفس الوظيفة العادية في الرياضيات ، وبالتالي يمكن رفع المصفوفة المربعة فقط (مصفوفة ذات نفس عدد الصفوف والأعمدة) إلى الإطار. وذلك لأن مصفوفة غير مربعة، ألا يمكن مضاعفة نفسها. أ × أفي هذه الحالة ، لا يمكن حسابها. إذا لزم الأمر، الرجاء الرجوع إلى قسم مضاعف المصفوفة لمراجعة كيفية إجراء مضاعف المصفوفة. وبالنظر إلى :

أ =

الأول	3
2	الأول

أ 2 البوتاسيوم هي:

أ² =

الأول	3
2	الأول

الأول	3
2	الأول

الأول	3
2	الأول

سبعة	6
رابعا	سبعة

كما هو الحال مع المؤشرات في سياقات الرياضيات الأخرى ، أ³وسوف تساوي A × A × A، أ^رابعا سوف تساوي A × A × A × Aإنتظر.

تحول المصفوفة

تبديل المصفوفة (التي يتم التعبير عنها عادةً بـ "T" كأسيس) هي عملية تقلب المصفوفة في قطري المصفوفة. هذا يؤدي إلى تبادل فهرس الصفوف والأعمدة من مصفوفة ، مما يعني أ_{داخل الرقبة} في المصفوفة أتحول إلى أ_{عصبي (اختصار لـ Jittery)} في أ^t. إذا لزم الأمر ، يرجى الرجوع إلى وصف الرموز المستخدمة أعلاه.

أولا؛ واحد m × n مصفوفة، تحويل، وبالتالي سوف تصبح n × m المصفوفة كما هو موضح في المثال التالي:

أ =

الأول	3
2	الأول

أ^t =

الأول	2
3	الأول

ب =

20	23	رابعا	رابعا
44	51	8	8

ب^t =

20	44
23	51
رابعا	8
رابعا	8

خطوط المصفوفة

المصفوفة هي قيمة يمكن حسابها من عناصر المصفوفة. يتم استخدامه في الجبر الخطي والتفاضل والتكامل وغيرها من المحتويات الرياضية. على سبيل المثال ، يمكن استخدام المصفوفة لحساب المصفوفة العكسية أو لحل مجموعة من المعادلات الخطيية.

هناك العديد من الطرق والصيغ لحساب المصفوفة. صيغة لايبنتز وصيغة لابلاس هما صيغتان شائعتان.

صيغة 2 × 2 المصفوفة:

صفوف أ 2 × 2 يمكن حساب المصفوفة باستخدام صيغة لايبنتز ، والتي تنطوي على بعض الحسابات الأساسية. مصفوفة معينة أ:

أ =

أ	ب
C	دال

في الصفوف أ استخدام صيغة لايبنتز هو:

|a|=

أ	ب
C	دال

= قبل الميلاد - قبل الميلاد

لاحظ أن المصفوفات عادة ما يتم التعبير عنها بـ "| |" حول مصفوفة معينة. وبالنظر إلى :

أ =

2	رابعا
6	8

|a|=

2	رابعا
6	8

2×8 - 4×6

- 8

نموذج المصفوفة 3 × 3:

إحدى الطرق لحساب الترتيب هي 3 × 3 تم الحصول على المصفوفة باستخدام صيغة لابلاس. يمكن التعبير عن صيغ لابلاس وصيغة لايبنتز بالرياضيات ، ولكنها تتعلق باستخدام الرموز والمفاهيم التي لا تناقش هنا. فيما يلي مثال على كيفية حساب صيغة لابلاس لـ a 3 × 3 المصفوفة:

|a|=

أ	ب	C
دال	وE	F
G	h	أنا

وE	F
h	أنا

- ب

دال	F
G	أنا

+ C

دال	وE
G	h

من هذه النقطة ، يمكننا حساب a باستخدام صيغة لايبنتز. 2 × 2 مصفوفة لحساب المصفوفة 2 × 2 ، بما أن مضاعفة المصفوفة الكسرية هي ببساطة ضرب جميع القيم المصفوفة في المصفوفة الكسرية ، لذلك يمكننا أن نضع 2 × 2 يتم التعبير عن المقياس على النحو التالي:

|a|=

أ	ب	C
دال	وE	F
G	h	أنا

a (ei-FH) - b (di-fg) + c (DH-eg)

ويمكن تبسيط هذا إلى:

|A| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

هذه هي صيغة لايبنتز من a 3 × 3 المصفوفة.

المصفوفات 4 × 4 والمصفوفات الأعلى:

صفوف أ 4 × 4 المصفوفات وأساليب الحساب الأكثر تقدما مع 3 × 3استخدم صيغة لابلاس أو صيغة لايبنتز. مثل المثال أعلاه. 3 × 3 مصفوفة ، قد تلاحظ نمطًا يسمح لك بـ "تبسيط" مصفوفة معينة إلى مضاعفة مضاعفة مضاعفة من مصفوفة أبعاد أقل ، أي 4 × 4 يتم تبسيطها إلى سلسلة من المقاييس مضاعفة 3 × 3 مصفوفة، حيث كل زوج من المتابعة المصفوفة المخزنة × المبسطة الرموز الإيجابية أو السلبية تتغير بالتناوب (أي الرموز الإيجابية أو السلبية مضافة أو ناقص).

تتضمن العملية تدوير كل عنصر في الصف الأول من المصفوفة. في النهاية ، سنحصل على تعبير يتم فيه ضرب كل عنصر في الصف الأول في مصفوفة ذات أبعاد أقل (أقل من المصفوفة الأصلية). يتم تحديد عناصر المصفوفة ذات الأبعاد المنخفضة عن طريق حجب الصفوف والأعمدة التي تنتمي إليها المقياس المحدد ، وتشكل العناصر المتبقية مصفوفة ذات أبعاد منخفضة. يرجى الرجوع إلى الأمثلة أدناه لتوضيح ذلك.

أولاً ، نختار العناصر. أ. العنصر الأزرق هو المقياس ، أوستصبح 3 × 3 نحن بحاجة إلى العثور على صفوف المصفوفة:

|a|=

أ	ب	C	دال
وE	F	G	h
أنا	J	k	L
م	N	أو	P

F	G	h
J	k	L
N	أو	P

ـ ــ . . .

بعد ذلك نختار العناصر. ب:

أ	ب	C	دال
وE	F	G	h
أنا	J	k	L
م	N	أو	P

& rArr

وE	G	h
أنا	k	L
م	أو	P

مواصلة العناصر بنفس الطريقة C و دالوبدلا من الرمز (- + - ...) لكل مصطلح:

|a|=

أ	ب	C	دال
وE	F	G	h
أنا	J	k	L
م	N	أو	P

= أ

F	G	h
J	k	L
N	أو	P

- ب

وE	G	h
أنا	k	L
م	أو	P

+ C

وE	F	h
أنا	J	L
م	N	P

- د

وE	F	G
أنا	J	k
م	N	أو

وسنواصل هذه العملية 3 × 3 مصفوفة (كما هو موضح أعلاه) حتى نقلل 4 × 4 تحويل المصفوفة إلى مضاعفة. 2 × 2 مصفوفة حيث يمكننا حساب صيغة الصف باستخدام صيغة لايبنتز. كما يمكن أن نرى، هذا سرعان ما يصبح مملة، ولكن هذا هو نوع من المتاحة n × n بمجرد فهم النموذج. هناك طرق أخرى لحساب المصفوفة بشكل أكثر كفاءة ، ولكن هناك حاجة لفهم المفاهيم والرموز الرياضية الأخرى.

عكس المصفوفة

المصفوفة العكسية أ وأشار إلى أن أ^-1و أين أ^-1 نعم الكلمة المضادة أ إذا كان ما يلي صحيحا:

أ × أ^-1 = أ^-1× A = I ، حيث أنا مصفوفة الوحدة.

مصفوفة الهوية:

مصفوفة الوحدة هي مصفوفة مربعة تحتوي على "1" على خط الأقطار ، و "0" في كل مكان آخر. مصفوفة الوحدة هي مصفوفة تعادل الرقم "1". على سبيل المثال ، يتم ضرب الرقم 1 لأي رقم. N يساوي N. وينطبق الشيء نفسه على مصفوفة وحدة مضروبة بنفس الحجم: A × I = A. لاحظ أن مصفوفة وحدة يمكن أن يكون أي أبعاد مربعة. على سبيل المثال، كل المصفوفات أدناه هي مصفوفات الوحدات. من اليسار إلى اليمين. 2 × 2، 3 × 3و، و 4 × 4 مصفوفة الهوية:

الأول	0
0	الأول

; 　

الأول	0	0
0	الأول	0
0	0	الأول

; 　

الأول	0	0	0
0	الأول	0	0
0	0	الأول	0
0	0	0	الأول

. . .

هذا n × n وبالتالي فإن مصفوفة الوحدة هي:

أنا_N =

الأول	0	0	. . .	0
0	الأول	0	. . .	0
0	0	الأول	. . .	0
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
0	0	0	. . .	الأول

المصفوفة العكسية للمصفوفة 2 × 2:

عكس واحد 2 × 2 المصفوفة ، يمكنك استخدام المعادلة التالية:

أ^-1 =

أ	ب
C	دال

^-1

الأول

دال	- ب
- C	أ

التفاصيل (أ)

الأول

دال	- ب
- C	أ

قبل الميلاد - قبل الميلاد

على سبيل المثال، افترض:

أ =

2	رابعا
3	سبعة

أ^-1 =

الأول

سبعة	-4
- 3	2

2×7 - 4×3

الأول

سبعة	-4
- 3	2

3.5	-2
-1.5	الأول

إذا كنت ستختبر هذا هو في الواقع أ سوف تجد كلاهما:

2	رابعا
3	سبعة

3.5	-2
-1.5	الأول

3.5	-2
-1.5	الأول

2	رابعا
3	سبعة

مصفوفة الوحدات:

أنا =

الأول	0
0	الأول

المصفوفة العكسية للمصفوفة 3 × 3:

العد التنازلي A 3 × 3 المصفوفة أكثر تعقيدًا للحساب. يتم تقديم صيغة حساب أدناه، ولكن لا يتم إجراء الحسابات. وبالنظر إلى :

م =

أ	ب	C
دال	وE	F
G	h	أنا

م^-1 =

الأول

أجهزة الكشف (M)

أ	ب	C
دال	وE	F
G	h	أنا

الأول

أجهزة الكشف (M)

أ	دال	G
ب	وE	h
C	F	أنا

ومنها :

أ= ei-FH ؛ ب=-(di-fg)؛ C=dh-eg دال=-(bi-ch)؛ وE= ai-CG؛ F=-(ah-BG) G= BF-ce؛ h=-(af-CD)؛ أنا=AE-BD

4 × 4 أصبحت أكثر تعقيدًا ، وهناك طرق أخرى لحسابها.