حاسبة الانحرافات القياسية

يرجى تقديم أرقام مفصولة بفواصل لحساب الانحراف المعياري والتباين والمتوسط والمجموع ومساحة الخطأ.

10، 12، 23، 23، 16، 23، 21، 16 هذا هو واحد السكان عينة

الانحراف المعياري في الإحصاءات، وعادة ما يتم التعبير عنه σمقياس للاختلاف أو التشتت بين القيم في مجموعة من البيانات (التي تشير إلى مدى امتداد أو ضغط التوزيع). كلما انخفض الانحراف المعياري ، كلما اقتربت نقاط البيانات من المتوسط (أو القيمة المتوقعة) ، & mu. على العكس من ذلك ، كلما زاد الانحراف المعياري ، زاد نطاق القيم. على غرار المفاهيم الرياضية والإحصائية الأخرى ، هناك العديد من الحالات المختلفة التي يمكن استخدام الانحراف المعياري ، وبالتالي هناك العديد من المعادلات المختلفة. بالإضافة إلى تمثيل التقلب الكلي ، يتم استخدام الانحراف المعياري في كثير من الأحيان لقياس النتائج الإحصائية ، مثل نطاق الخطأ. وعند استخدامها بهذه الطريقة، يشار إلى الانحراف المعياري عادة باسم الخطأ المعياري للمتوسط، أو الخطأ المعياري للتقديرات المتعلقة بالمتوسط. الحاسبة أعلاه لحساب الانحراف المعياري الكلي والانحراف المعياري العينة، و نطاق الثقة القيمة التقريبية.

الانحراف المعياري العام

التعريف القياسي للانحراف المعياري للسكان σيستخدم عندما يكون من الممكن قياس المجموع بأكمله ، وهو الجذر المربع للتباين في مجموعة البيانات المحددة. في الحالات التي يمكن فيها أخذ عينات من كل عضو في المجموع، يمكنك استخدام المعادلة التالية لحساب الانحراف المعياري للمجموع ككل:

قد تكون المعادلة أعلاه مخيفة لأولئك الذين ليسوا مألوفين مع رموز المجمع ، ولكن عندما يتم التعامل معها من خلال مكوناتها المختلفة ، فإن هذا المجمع ليس معقدًا بشكل خاص. هذا i = 1 يشير المجموع إلى فهرس البداية ، أي مجموعة البيانات 1 و 3 و 4 و 7 و 8 ، i = 1 سيكون 1 i = 2 يجب أن يكون 3 وهكذا. وبالتالي ، فإن علامة جمع تعني ببساطة إجراء العمليات التالية ( العشر_أنا - & mu; )² تمرير على كل قيمة عاديفي هذا المثال، 5 لأن مجموعة البيانات تحتوي على 5 قيم.

EX: & mu; = (1+3+4+7+8) / 5 = 4.6 　 　 　 　
σ = & جذري;[1 - 4.6]² + (3 - 4.6)² +...+ (8 - 4.6)²] / 5
σ = & جذري;(12.96 + 2.56 + 0.36 + 5.76 + 11.56)/5 = 2.577

الانحراف المعياري للعينة

في كثير من الحالات ، من المستحيل أخذ عينات لكل عضو في المجموعة ، وبالتالي فإن المعادلة المذكورة أعلاه تحتاج إلى تعديل بحيث يمكن قياس الانحراف المعياري من خلال عينات عشوائية من المجموعة التي يتم دراستها. التقديرات العامة σ هو الانحراف المعياري للعينة، وعادة ما يتم التعبير عنه s. تجدر الإشارة إلى أن هناك العديد من الصيغ المختلفة لحساب الانحراف المعياري للعينة لأن الانحراف المعياري للعينة ، على عكس متوسط العينة ، لا يحتوي على أي تقدير واحد غير متحيز وصالح وأقصى احتمال. المعادلة المقدمة أدناه هي "الانحراف المعياري المعدل للعينة"إنها نسخة معدلة من المعادلة التي تم الحصول عليها باستخدام تعديل معادلة التباين المعياري الكلي حجم العينة كحجم السكان ، هذا يزيل بعض التحيزات في المعادلة. ومع ذلك ، فإن التقديرات غير المتحيزة للانحراف المعياري معقدة للغاية وتختلف حسب التوزيع. وبالتالي ، فإن "الانحراف المعياري للعينة المراجعة" هو التقدير الأكثر استخدامًا للانحراف المعياري الكلي ، وغالبًا ما يشار إليه ببساطة باسم "الانحراف المعياري للعينة". هذا هو تقدير أفضل بكثير من النسخة غير المنقحة ، ولكن بالنسبة لحجم العينة الصغيرة (N<10).

للحصول على مثال حول كيفية استخدام مجموع، راجع قسم "الانحراف المعياري الكلي". باستثناء تصحيح N-1 في معادلة الانحراف العينة واستخدام قيمة العينة ، فإن المعادلة هي نفسها في الأساس.

تطبيق الانحراف المعياري

يتم استخدام الانحرافات المعيارية على نطاق واسع في البيئات التجريبية والصناعية لاختبار النماذج على أساس بيانات العالم الحقيقي. مثال على التطبيقات الصناعية هو مراقبة الجودة لبعض المنتجات. يمكن استخدام الانحراف المعياري لحساب القيم الدنيا والحد الأقصى التي تظهر فيها النسبة المئوية العالية لبعض جوانب المنتج لفترة زمنية معينة. إذا كانت القيم خارج نطاق الحساب ، فقد تكون هناك حاجة إلى إجراء تغييرات في عملية الإنتاج لضمان مراقبة الجودة.

كما يتم استخدام الانحرافات المعيارية للطقس لتحديد الاختلافات المناخية الإقليمية. تخيل مدينتين ، واحدة على الساحل وواحدة في المناطق الداخلية ، حيث يبلغ متوسط درجة الحرارة 75 درجة فهرنهايت. على الرغم من أن هذا قد يدفع الناس إلى الاعتقاد بأن درجات الحرارة في هاتين المدينتين هي في الواقع نفسها ، إلا أنه إذا تم التعامل مع المتوسطات فقط وتجاهل الانحراف المعياري ، فقد يتم إخفاء الواقع. تميل درجات الحرارة في المدن الساحلية إلى أن تكون أكثر استقرارًا بكثير بسبب تنظيم مساحات كبيرة من المسطحات المائية ، لأن السعة الحرارية للمياه أعلى من الأرض ؛ في الأساس ، هذا يجعل الماء أقل عرضة للتغيرات في درجة الحرارة ، وبسبب الطاقة اللازمة لتغيير درجة حرارة المياه ، تبقى المناطق الساحلية دافئة في فصل الشتاء وباردة في فصل الصيف. وبالتالي ، فإن متوسط درجة الحرارة في المدن الساحلية قد يتراوح بين 60 درجة فهرنهايت و 85 درجة فهرنهايت لفترة من الوقت ، في حين أن متوسط درجة الحرارة في المدن الداخلية قد يتراوح بين 30 درجة فهرنهايت و 110 درجة فهرنهايت.(و) يحصل على نفس المتوسط.

مجال آخر يستخدم فيه الانحرافات المعيارية بشكل كبير هو التمويل، والذي يستخدم عادة لقياس المخاطر المرتبطة بتقلبات أسعار بعض الأصول أو محفظة الأصول. يوفر استخدام الانحراف المعياري في هذه الحالات تقديرًا لعدم اليقين في العائد المستقبلي على استثمار معين. على سبيل المثال، عند مقارنة السهم A مع متوسط العائد بنسبة 7٪ والانحراف المعياري بنسبة 10٪ مع السهم B مع نفس متوسط العائد ولكن الانحراف المعياري بنسبة 50٪، من الواضح أن السهم الأول هو خيار أكثر أمانًا لأن السهم B لديه انحراف معياري أكبر بكثير لنفس العائد بالضبط. هذا لا يعني أن الأسهم أ هو بالتأكيد خيار أفضل للاستثمار في هذه الحالة ، لأن الانحراف المعياري قد يميل المتوسط في كلا الاتجاهين. في حين أن متوسط العائد على الأسهم (أ) من المرجح أن يكون أقرب إلى 7٪ ، فإن الأسهم (ب) قد تقدم عائدًا (أو خسارة) أكبر.

هذه ليست سوى بعض الأمثلة على استخدام الانحراف المعياري ، ولكن هناك المزيد من الأمثلة. بشكل عام ، من المفيد حساب الانحراف المعياري عندما تحتاج إلى معرفة كم تبعد القيمة النموذجية للتوزيع عن المتوسط.