矩阵计算器

在数学上下文中，矩阵是按行和列排列的数字、符号或表达式的矩形阵列。矩阵经常用于科学领域，如物理学、计算机图形学、概率论、统计学、微积分、数值分析等。

矩阵的维数， A，通常表示为 m × n。这意味着 A 有 m 行和 n 列。当引用矩阵中的特定值（称为元素）时，通常使用带有两个下标的变量来表示每个元素在矩阵中的位置。例如，给定 a_我，j，在哪里 i = 1 和 j = 3, a_1,3 是给定矩阵第一行第三列中元素的值。

矩阵运算，如加、乘、减等。，类似于大多数人可能习惯于在基本算术和代数中看到的内容，但在某些方面确实有所不同，并且受到某些限制。以下是此计算器可以执行的矩阵运算的描述。

矩阵加法

矩阵加法只能在相同大小的矩阵上执行。这意味着只有当两个矩阵都是时，才能添加矩阵 m × n。例如，您可以添加两个或更多 3 × 3, 1 × 2，或者 5 × 4 矩阵。您不能添加 2 × 3 和一个 3 × 2 矩阵a 4 × 4 和一个 3 × 3等。添加的所有矩阵的行数和列数必须完全匹配。

如果矩阵大小相同，则通过添加矩阵中的相应元素来执行矩阵加法。例如，给定两个矩阵， A 和 B，带有元素 a_我，j，以及 b_我，j通过添加每个元素来添加矩阵，然后将结果放入新的矩阵中， C，在矩阵中的相应位置:

A =

一	2
3	四

；B =

5	6
七	8

在上述矩阵中， a_1,1 = 1； a_1,2 = 2； b_1,1 = 5； b_1,2 = 6；等等。我们添加相应的元素来获得 c_我，j。将相应行和列中的值相加:

a_1,1 + b_1,1 = 1 + 5 = 6 = c_1,1

a_1,2 + b_1,2 = 2 + 6 = 8 = c_1,2

a_2,1 + b_2,1 = 3 + 7 = 10 = c_2,1

a_2,2 + b_2,2 = 4 + 8 = 12 = c_2,2

因此，矩阵 C 是:

C =

6	8
10	12

矩阵减法

矩阵减法的执行方式与上述矩阵加法基本相同，只是数值是相减而不是相加。如有必要，请参考上面的信息和示例，了解下面示例中使用的符号说明。像矩阵加法一样，被减法运算的矩阵必须大小相同。如果矩阵大小相同，则通过减去相应行和列中的元素来执行矩阵减法:

A =

一	2
3	四

；B =

5	6
七	8

a_1,1 -乙_1,1 = 1 - 5 = -4 = c_1,1

a_1,2 -乙_1,2 = 2 - 6 = -4 = c_1,2

a_2,1 -乙_2,1 = 3 - 7 = -4 = c_2,1

a_2,2 -乙_2,2 = 4 - 8 = -4 = c_2,2

因此，矩阵 C 是:

C =

-4	-4
-4	-4

矩阵乘法

标量乘法:

通过将矩阵中的每个元素乘以标量，可以将矩阵乘以标量值。例如，给定一个矩阵 A 和一个标量 c：

A =

一	2
3	四

；c = 5

的产物 c 和 A 是:

5 ×

一	2
3	四

5	10
15	20

矩阵-矩阵乘法:

两个（或更多）矩阵相乘比标量相乘更复杂。为了将两个矩阵相乘，第一个矩阵中的列数必须与第二个矩阵中的行数相匹配。例如，您可以将一个 2 × 3 矩阵乘a 3 × 4 矩阵，但不是 2 × 3 矩阵乘a 四 × 3。

可以相乘:

A =

a_1,1	a_1,2	a_1,3
a_2,1	a_2,2	a_2,3

；B =

b_1,1	b_1,2	b_1,3	b_1,4
b_2,1	b_2,2	b_2,3	b_2,4
b_3,1	b_3,2	b_3,3	b_3,4

不能相乘:

A =

a_1,1	a_1,2	a_1,3
a_2,1	a_2,2	a_2,3

；B =

b_1,1	b_1,2	b_1,3
b_2,1	b_2,2	b_2,3
b_3,1	b_3,2	b_3,3
b_4,1	b_4,2	b_4,3

注意当矩阵相乘时， A × B 不一定等于 B × A。事实上，仅仅因为 A 可以乘以 B 并不意味着 B 可以乘以 A。

如果矩阵大小正确，并且可以相乘，则矩阵通过执行点积来相乘。点积包括将第一个矩阵的行中对应的元素乘以第二个矩阵的列中对应的元素，然后对结果求和，得到一个值。点积只能在长度相等的序列上执行。这就是为什么第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相匹配。

然后点积变成新矩阵的相应行和列中的值， C。例如，从上述可相乘的矩阵中，中的蓝色行 A 乘以中的蓝色列 B 确定矩阵第一行第一列中的值 C。这被称为的第1行的点积 A 和的第1列 B：

a_1,1×b_1,1 + a_1,2×b_2,1 + a_1,3×b_3,1 = c_1,1

对每行执行点积 A 每一列 B 直到两者的所有组合完成，以便找到矩阵中相应元素的值 C。例如，当您执行的第1行的点积时 A 和的第1列 B，结果将是 c_1,1 矩阵的 C。的第1行的点积 A 和第2列 B 将会 c_1,2 矩阵的 C，依此类推，如下例所示:

A =

一	2	一
3	四	一

；B =

5	6	一	一
七	8	一	一
一	一	一	一

在这种情况下，当两个矩阵相乘时，结果矩阵的行数将与第一个矩阵的行数相同 A和与第二矩阵相同数量的列， B。因为 A 是 2 × 3 和 B 是 3 × 四, C 将是一个 2 × 四 矩阵。这里的颜色首先有助于确定两个矩阵是否可以相乘，其次有助于确定结果矩阵的维数。接下来，我们可以确定的元素值 C 通过执行每行和每列的点积，如下所示:

C =

20	23	四	四
44	51	8	8

的每行和每列的点积计算如下 C 显示为:

c_1,1 = 1×5 + 2×7 + 1×1 = 20

c_1,2 = 1×6 + 2×8 + 1×1 = 23

c_1,3 = 1×1 + 2×1 + 1×1 = 4

c_1,4 = 1×1 + 2×1 + 1×1 = 4

c_2,1 = 3×5 + 4×7 + 1×1 = 44

c_2,2 = 3×6 + 4×8 + 1×1 = 51

c_2,3 = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8

c_2,4 = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8

矩阵的幂

对于这个计算器来说，“矩阵的幂”是指给定矩阵的幂。例如，使用计算器时，给定矩阵的“2的幂”， A，意味着 A²。除了矩阵乘法规则也适用之外，矩阵指数的功能与数学中的正常功能相同，因此只有方阵（具有相同行数和列数的矩阵）可以被提升到幂。这是因为非正方形矩阵， A，不能与自身相乘。 A × A在这种情况下，无法计算。如有必要，请参考矩阵乘法部分，复习如何进行矩阵乘法。鉴于:

A =

一	3
2	一

A 2的幂是:

A² =

一	3
2	一

一	3
2	一

一	3
2	一

七	6
四	七

与其他数学上下文中的指数一样， A³，将等于 A × A × A, A^四 会等于 A × A × A × A，等等。

矩阵转置

矩阵的转置（通常用“T”作为指数表示）是一种在矩阵对角线上翻转矩阵的操作。这导致交换矩阵的行和列索引，这意味着 a_颈内 在矩阵中 A，变成 a_{神经过敏的（jittery的缩写）} 在 A^T。如有必要，请参考上文对所用符号的描述。

一；一个 m × n 矩阵，转置，因此将成为 n × m 矩阵，如下例所示:

A =

一	3
2	一

A^T =

一	2
3	一

B =

20	23	四	四
44	51	8	8

B^T =

20	44
23	51
四	8
四	8

矩阵的行列式

矩阵的行列式是可以从方阵的元素中计算出来的值。它用于线性代数、微积分和其他数学内容。例如，行列式可用于计算矩阵的逆矩阵或求解线性方程组。

有许多计算矩阵行列式的方法和公式。莱布尼茨公式和拉普拉斯公式是两个常用的公式。

2 × 2矩阵的行列式:

a的行列式 2 × 2 矩阵可以使用莱布尼茨公式计算，这涉及到一些基本的算术。给定矩阵 A：

A =

a	b
c	d

的行列式 A 使用莱布尼茨公式是:

|A| =

a	b
c	d

=公元-公元前

请注意，取行列式通常用给定矩阵周围的“| |”表示。鉴于:

A =

2	四
6	8

|A| =

2	四
6	8

2×8 - 4×6

-8

3 × 3矩阵的行列式:

计算行列式的一种方法是 3 × 3 矩阵是通过使用拉普拉斯公式得到的。拉普拉斯公式和莱布尼茨公式都可以用数学方法表示，但涉及符号和概念的使用，这里不讨论。下面是一个如何使用拉普拉斯公式计算a的行列式的例子 3 × 3 矩阵:

|A| =

a	b	c
d	e	f
g	h	我

e	f
h	我

-乙

d	f
g	我

+ c

d	e
g	h

从这一点出发，我们可以用莱布尼茨公式来计算a 2 × 2 矩阵来计算2 × 2矩阵的行列式，由于矩阵的标量乘法只是将矩阵的所有值乘以标量，因此我们可以将 2 × 2 由标量表示如下:

|A| =

a	b	c
d	e	f
g	h	我

a（ei-FH）-b（di-fg）+c（DH-eg）

这可以进一步简化为:

|A| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

这是a的莱布尼茨公式 3 × 3 矩阵。

4 × 4矩阵及更高矩阵的行列式:

a的行列式 4 × 4 矩阵和更高级的计算方法与 3 × 3使用拉普拉斯公式或莱布尼茨公式。和上面的例子一样 3 × 3 矩阵，您可能会注意到一种模式，它允许您将给定的矩阵“简化”为一个标量乘以降维矩阵的行列式，即 4 × 4 被简化为一系列标量乘以 3 × 3 矩阵，其中每对后续的 标量×简化矩阵 正负符号交替变化（即正负符号相加或相减）。

该过程包括循环遍历矩阵第一行中的每个元素。最终，我们将得到一个表达式，其中第一行中的每个元素都将乘以一个低维矩阵（比原始矩阵低）。低维矩阵的元素是通过屏蔽所选标量所属的行和列来确定的，其余元素构成低维矩阵。请参考下面的示例进行说明。

这里，我们首先选择元素 a。蓝色的元素是标量， a，以及将成为 3 × 3 我们需要找到矩阵的行列式:

|A| =

a	b	c	d
e	f	g	h
我	j	k	l
m	n	o	p

f	g	h
j	k	l
n	o	p

-...

接下来，我们选择元素 b：

a	b	c	d
e	f	g	h
我	j	k	l
m	n	o	p

& rArr

e	g	h
我	k	l
m	o	p

对元素以相同的方式继续 c 和 d，并交替符号（- + -...）的每个术语:

|A| =

a	b	c	d
e	f	g	h
我	j	k	l
m	n	o	p

= a

f	g	h
j	k	l
n	o	p

-乙

e	g	h
我	k	l
m	o	p

+ c

e	f	h
我	j	l
m	n	p

- d

e	f	g
我	j	k
m	n	o

我们将继续这一进程 3 × 3 矩阵（如上所示），直到我们减少了 4 × 4 矩阵转换为标量乘以 2 × 2 矩阵，其中我们可以使用莱布尼茨公式计算行列式。可以看出，这很快就变得乏味了，但这是一种可用于 n × n 一旦你理解了模式。还有其他方法可以更有效地计算矩阵的行列式，但需要理解其他数学概念和符号。

矩阵的逆

矩阵的逆矩阵 A 表示为 A^-1，在哪里 A^-1 是的反义词 A 如果以下为真:

A×A^-1 = A^-1×A = I，其中我是单位矩阵

身份矩阵:

单位矩阵是一个对角线上有“1”的正方形矩阵，其他地方都是“0”。单位矩阵是数字“1”的等价矩阵。例如，数字1乘以任何数字 n 等于 n。单位矩阵乘以相同大小的矩阵也是如此: A × I = A。请注意，单位矩阵可以有任何平方维数。例如，下面所有的矩阵都是单位矩阵。从左到右分别是 2 × 2, 3 × 3，以及 4 × 4 身份矩阵:

一	0
0	一

；　

一	0	0
0	一	0
0	0	一

；　

一	0	0	0
0	一	0	0
0	0	一	0
0	0	0	一

...

这 n × n 因此，单位矩阵是:

我_n =

一	0	0	...	0
0	一	0	...	0
0	0	一	...	0
...	...	...	...	...
0	0	0	...	一

2 × 2矩阵的逆矩阵:

反转一个 2 × 2 矩阵，可以使用下面的等式:

A^-1 =

a	b
c	d

^-1

一

d	-乙
-丙	a

细节（A）

一

d	-乙
-丙	a

公元-公元前

例如，假设:

A =

2	四
3	七

A^-1 =

一

七	-4
-3	2

2×7 - 4×3

一

七	-4
-3	2

3.5	-2
-1.5	一

如果你要测试这实际上是 A 你会发现两者:

2	四
3	七

3.5	-2
-1.5	一

和

3.5	-2
-1.5	一

2	四
3	七

等于单位矩阵:

我=

一	0
0	一

3 × 3矩阵的逆矩阵:

a的倒数 3 × 3 矩阵计算起来更繁琐。下面提供了一个计算公式，但不会进行计算。鉴于:

M =

a	b	c
d	e	f
g	h	我

M^-1 =

一

检测器（M）

A	B	C
D	E	F
G	H	我

一

检测器（M）

A	D	G
B	E	H
C	F	我

其中:

A= ei-FH； B=-（di-fg）； C=dh-eg D=-（bi-ch）； E= ai-CG； F=-（ah-BG） G= BF-ce； H=-（af-CD）；我=ae-bd

4 × 4 越来越复杂，还有其他方法来计算它们。