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Matrizenrechner

Im mathematischen Kontext ist eine Matrix ein rechteckiges Array von Zahlen, Symbolen oder Ausdrücken, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind. Matrizen werden häufig in wissenschaftlichen Bereichen wie Physik, Computergrafik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik, Calcul, numerische Analyse usw. verwendet.

Die Größe der Matrix, und AMeist wird als m × n. Das bedeutet, und A ja. Die M OK und Der N Spalten. Wenn Sie auf einen bestimmten Wert in einer Matrix verweisen, der als Elemente bezeichnet wird, wird normalerweise eine Variable mit zwei Indizes verwendet, um die Position jedes Elements in der Matrix anzugeben. Zum Beispiel gegeben Der A_{Ich, J.}, wo ist i = 1 und J = 3, Der A_{von 1,3} ist der Wert des Elements in der dritten Spalte der ersten Zeile der gegebenen Matrix.

Matrixoperationen, wie addieren, multiplizieren, subtrahieren usw. Ähnlich wie das, was die meisten Menschen vielleicht gewohnt sind, in grundlegender Arithmetik und Algebra zu sehen, aber es unterscheidet sich in mancher Hinsicht und unterliegt bestimmten Einschränkungen. Im Folgenden finden Sie eine Beschreibung der Matrixoperationen, die dieser Rechner ausführen kann.

Die Matrix addiert

Die Matrixaddition kann nur auf Matrizen der gleichen Größe durchgeführt werden. Das bedeutet, dass eine Matrix nur hinzugefügt werden kann, wenn beide Matrizen sind. m × n. Sie können beispielsweise zwei oder mehr hinzufügen. 3 × 3, 1 × 2, oder 5 × 4 Die Matrix. Sie können nicht hinzufügen. 2 × 3 Und mit einem 3 × 2 Die Matrix A 4 × 4 Und mit einem 3 × 3warten. Die Anzahl der Zeilen und Spalten aller hinzugefügten Matrizen muss genau übereinstimmen.

Wenn die Größe der Matrix gleich ist, wird die Matrixaddition durch Hinzufügen der entsprechenden Elemente in der Matrix durchgeführt. Nehmen wir zum Beispiel zwei Matrizen, und A und B nachmit Elementen. Der A_{Ich, J.}, und B nach_{Ich, J.}Fügen Sie die Matrix hinzu, indem Sie jedes Element hinzufügen und dann das Ergebnis in die neue Matrix einfügen, und CDie entsprechende Position in der Matrix:

und A =

eins	2
3	vier.

; B =

5	6
sieben.	8

In der genannten Matrix, Der A_{von 1,1} = 1 für; Der A_{für 1,2} = 2; B nach_{von 1,1} = 5; B nach_{für 1,2} = 6; Warten Sie. Wir fügen die entsprechenden Elemente hinzu, um und C_{Ich, J.}. Addieren Sie die Werte in den entsprechenden Zeilen und Spalten:

Der A_{von 1,1} und + b_{von 1,1} = 1 + 5 = 6 = c_{von 1,1}

Der A_{für 1,2} und + b_{für 1,2} = 2 + 6 = 8 = c_{für 1,2}

Der A_{2, 1} und + b_{2, 1} = 3 + 7 = 10 = c_{2, 1}

Der A_{und 2,2} und + b_{und 2,2} = 4 + 8 = 12 = c_{und 2,2}

Daher ist die Matrix und C ja:

C =

6	8
10	12

Matrix Subtraktion

Die Matrixsubtraktion wird grundsätzlich auf die gleiche Weise wie die oben genannte Matrixaddition durchgeführt, mit der Ausnahme, dass die Werte subtrahiert und nicht addiert werden. Bitte beachten Sie bei Bedarf die obigen Informationen und Beispiele für die Beschreibung der in den folgenden Beispielen verwendeten Symbole. Wie bei der Matrixaddition muss die Subtraktionsmatrix die gleiche Größe haben. Wenn die Größe der Matrix gleich ist, wird die Matrixsubtraktion durch Subtrahieren der Elemente in den entsprechenden Zeilen und Spalten durchgeführt:

und A =

eins	2
3	vier.

; B =

5	6
sieben.	8

Der A_{von 1,1} -B._{von 1,1} = 1 - 5 = -4 = c_{von 1,1}

Der A_{für 1,2} -B._{für 1,2} = 2 - 6 = -4 = c_{für 1,2}

Der A_{2, 1} -B._{2, 1} = 3 - 7 = -4 = c_{2, 1}

Der A_{und 2,2} -B._{und 2,2} = 4 - 8 = -4 = c_{und 2,2}

Daher ist die Matrix und C ja:

C =

- vier	- vier
- vier	- vier

Matrix Multiplikation

Skala Multiplikation:

Durch das Multiplizieren jedes Element in der Matrix mit dem Skalarwert kann die Matrix mit dem Skalarwert multipliziert werden. Nehmen wir beispielsweise eine Matrix und A und ein Maßstab. und C:

und A =

eins	2
3	vier.

; C = 5

Das Produkt und C und und A ja:

5 ×

eins	2
3	vier.

5	10
15	20

Matrix - Multiplikation der Matrix:

Das Multiplizieren von zwei (oder mehr) Matrizen ist komplexer als das Multiplizieren skalarer Matrizen. Um zwei Matrizen zu multiplizieren, muss die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix übereinstimmen. Zum Beispiel können Sie einen 2 × 3 Matrix multipliziert mit a 3 × 4 Matrix, aber nicht. 2 × 3 Matrix multipliziert mit a vier. × 3.

Kann multipliziert werden:

und A =

Der A_{von 1,1}	Der A_{für 1,2}	Der A_{von 1,3}
Der A_{2, 1}	Der A_{und 2,2}	Der A_{und 2, 3}

; B =

B nach_{von 1,1}	B nach_{für 1,2}	B nach_{von 1,3}	B nach_{von 1,4}
B nach_{2, 1}	B nach_{und 2,2}	B nach_{und 2, 3}	B nach_{und 2,4}
B nach_{3, 1}	B nach_{3, 2}	B nach_{Drei, drei}	B nach_{3, 4}

Kann nicht multipliziert werden:

und A =

Der A_{von 1,1}	Der A_{für 1,2}	Der A_{von 1,3}
Der A_{2, 1}	Der A_{und 2,2}	Der A_{und 2, 3}

; B =

B nach_{von 1,1}	B nach_{für 1,2}	B nach_{von 1,3}
B nach_{2, 1}	B nach_{und 2,2}	B nach_{und 2, 3}
B nach_{3, 1}	B nach_{3, 2}	B nach_{Drei, drei}
B nach_{4 , 1}	B nach_{4, 2}	B nach_{4, 3}

Wenn die Matrix multipliziert wird, A × B nicht unbedingt gleich B × A. Eigentlich nur, weil und A kann multipliziert werden. B nach Das bedeutet nicht, dass B nach kann multipliziert werden. und A.

Wenn die Größe der Matrix korrekt ist und multipliziert werden kann, multipliziert die Matrix durch Ausführen des Punkteprodukts. Das Punktprodukt besteht darin, das entsprechende Element in der Zeile der ersten Matrix mit dem entsprechenden Element in der Spalte der zweiten Matrix zu multiplizieren und dann das Ergebnis zu summieren, um einen Wert zu erhalten. Das Punkteprodukt kann nur in Sequenzen der gleichen Länge durchgeführt werden. Deshalb muss die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix übereinstimmen.

Das Punktprodukt wird dann zu den Werten in den entsprechenden Zeilen und Spalten der neuen Matrix, und C. Zum Beispiel aus der oben multiplizierbaren Matrix, die blaue Zeile in und A Multiplizieren Sie die blaue Spalte. B nach Bestimmen Sie den Wert in der ersten Spalte der ersten Zeile der Matrix und C. Dies wird als Punktprodukt der Zeile 1 bezeichnet. und A und der ersten Spalte B nach:

Der A_{von 1,1}× b._{von 1,1} und +a_{für 1,2}× b._{2, 1} und +a_{von 1,3}× b._{3, 1} = für c_{von 1,1}

Durchführen von Punkten für jede Zeile und A Jede Spalte B nach Bis alle Kombinationen der beiden abgeschlossen sind, um den Wert des entsprechenden Elements in der Matrix zu finden und C. Zum Beispiel, wenn Sie die Punktzahl der Zeile 1 durchführen und A und der ersten Spalte B nachDas Ergebnis wird und C_{von 1,1} Die Matrix. und C. Punkte in der Zeile 1 und A und zweite Spalte B nach wird sein und C_{für 1,2} Die Matrix. und C, und so weiter, wie im folgenden Beispiel gezeigt:

und A =

eins	2	eins
3	vier.	eins

; B =

5	6	eins	eins
sieben.	8	eins	eins
eins	eins	eins	eins

In diesem Fall, wenn zwei Matrizen multipliziert werden, ist die Anzahl der Zeilen der resultierenden Matrix die gleiche wie die Anzahl der Zeilen der ersten Matrix. und Aund die gleiche Anzahl von Spalten wie die zweite Matrix, B nach. Weil und A ja. 2 × 3 und B nach ja. 3 × vier., und C Es wird eine 2 × vier. Die Matrix. Die Farben hier helfen zuerst zu bestimmen, ob zwei Matrizen multipliziert werden können, und zweitens, um die Dimensionen der resultierenden Matrix zu bestimmen. Als nächstes können wir den Wert des Elements bestimmen. und C Durch Ausführen des Punkteprodukts für jede Zeile und Spalte, wie folgt:

C =

20	23	vier.	vier.
44	51	8	8

Die Punkte für jede Zeile und Spalte werden wie folgt berechnet und C angezeigt als:

und C_{von 1,1} = 1 × 5 + 2 × 7 + 1 × 1 = 20

und C_{für 1,2} = 1×6 + 2×8 + 1×1 = 23

und C_{von 1,3} = 1 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 4

und C_{von 1,4} = 1 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 4

und C_{2, 1} = 3 × 5 + 4 × 7 + 1 × 1 = 44

und C_{und 2,2} = 3 × 6 + 4 × 8 + 1 × 1 = 51

und C_{und 2, 3} = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8

und C_{und 2,4} = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8

Entropie der Matrix

Für diesen Taschenrechner bezieht sich der "Kopf der Matrix" auf den Cluster der gegebenen Matrix. Zum Beispiel, wenn Sie einen Taschenrechner verwenden, gibt die Matrix "2 der Kräfte", und Abedeutet, dass und A². Abgesehen davon, dass die Regeln der Matrixmultiplikation auch gelten, funktioniert der Matrix-Exponent genauso wie die normale Funktion in der Mathematik, so dass nur eine quadratische Matrix (eine Matrix mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten) auf die Potenz erhöht werden kann. Dies liegt daran, dass die nicht quadratische Matrix, und ASie können sich nicht mit sich selbst multiplizieren. A × AIn diesem Fall kann es nicht berechnet werden. Wenn nötig, lesen Sie den Abschnitt Matrixmultiplikation, um zu überprüfen, wie Matrixmultiplikation durchgeführt wird. In Anbetracht:

und A =

eins	3
2	eins

und A Die beiden Quecksilber sind:

und A² =

eins	3
2	eins

eins	3
2	eins

eins	3
2	eins

sieben.	6
vier.	sieben.

Wie in anderen mathematischen Kontexten, und A³wird gleich A × A × A, und A^vier. wird gleich A × A × A × AAlso, warte.

Die Matrix verlagert

Die Verschiebung einer Matrix (normalerweise mit einem "T" als Exponenten dargestellt) ist eine Operation, bei der die Matrix in der Diagonale umgedreht wird. Dies führt zum Austausch der Zeilen- und Spaltenindizes der Matrix, was bedeutet Der A_{Innerhalb des Hals} in der Matrix. und Awird zu Der A_{nervös (abkürzung für jittery)} in und A^{Der T}. Bitte beachten Sie bei Bedarf die Beschreibung der verwendeten Symbole.

1.; eine. m × n Die Matrix, die Verschiebung, und damit wird n × m Die Matrix, wie im folgenden Beispiel gezeigt:

und A =

eins	3
2	eins

und A^{Der T} =

eins	2
3	eins

B =

20	23	vier.	vier.
44	51	8	8

B nach^{Der T} =

20	44
23	51
vier.	8
vier.	8

Die Reihe der Matrix

Die Reihenfolge der Matrix ist ein Wert, der aus den Elementen der Quadrate berechnet werden kann. Es wird für lineare Algebra, Kalkül und andere mathematische Inhalte verwendet. Beispielsweise kann ein Linearformular verwendet werden, um eine inverse Matrix einer Matrix zu berechnen oder einen linearen Gleichungssatz zu lösen.

Es gibt viele Methoden und Formeln für die Berechnung von Matrizen. Die Leibniz-Formel und die Laplace-Formel sind zwei häufig verwendete Formeln.

Die Reihenfolge der 2 × 2 Matrix:

Reihenfolge von A 2 × 2 Die Matrix kann mit der Leibniz-Formel berechnet werden, die einige grundlegende Arithmetik beinhaltet. gegebenen Matrizen. und A:

und A =

Der A	B nach
und C	und D

Die Reihenfolge und A Die Leibniz-Formel ist:

|a|=

Der A	B nach
und C	und D

= v. Chr. - vor Christus

Beachten Sie, dass die Reihenfolge normalerweise mit "| |" um die gegebenen Matrix gekennzeichnet wird. In Anbetracht:

und A =

2	vier.
6	8

|a|=

2	vier.
6	8

2x8 - 4x6

- Acht

3 × 3 Matrizen:

Eine Methode zur Berechnung ist 3 × 3 Die Matrix wird mithilfe der Laplace-Formel ermittelt. Sowohl die Laplace-Formel als auch die Leibniz-Formel können mathematisch dargestellt werden, aber die Verwendung von Symbolen und Konzepten wird hier nicht diskutiert. Hier ist ein Beispiel dafür, wie man eine Reihe von a mit der Laplace-Formel berechnet 3 × 3 Die Matrix:

|a|=

Der A	B nach	und C
und D	und E	und F
und G	Die H	ich.

Der A

und E	und F
Die H	ich.

-B.

und D	und F
und G	ich.

+ C für

und D	und E
und G	Die H

Von diesem Punkt aus können wir mit der Leibniz-Formel a berechnen. 2 × 2 Die Matrix berechnet die Reihenfolge der 2 × 2 Matrix, da die Skalarmultiplikation der Matrix nur alle Werte der Matrix multipliziert wird, können wir also 2 × 2 Die Skala wird wie folgt ausgedrückt:

|a|=

Der A	B nach	und C
und D	und E	und F
und G	Die H	ich.

a(ei-FH)-b(di-fg) + c(DH-eg)

Dies kann weiter vereinfacht werden:

|A| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

Das ist die Leibniz-Formel von A. 3 × 3 Die Matrix.

4 × 4 und höhere Matrizen:

Reihenfolge von A 4 × 4 Matrizen und höhere Berechnungsmethoden mit 3 × 3Verwenden Sie die Laplace-Formel oder die Leibniz-Formel. Genau wie das obige Beispiel. 3 × 3 Eine Matrix, die Sie vielleicht bemerkt haben, ist ein Muster, das es Ihnen ermöglicht, eine gegebenen Matrix zu "vereinfachen" zu einem Skalar, multipliziert mit der Reihenfolge der abnehmenden Dimension Matrix, dh 4 × 4 wird auf eine Reihe von Skala multipliziert 3 × 3 Die Matrix, in der jedes nachfolgende Paar Skalar × vereinfachte Matrix Die Symbole wechseln abwechselnd (d.h. die Symbole werden addiert oder subtrahiert).

Der Vorgang besteht darin, jedes Element in der ersten Zeile der Matrix durchlaufen zu lassen. Am Ende erhalten wir einen Ausdruck, in dem jedes Element in der ersten Zeile mit einer Matrix mit niedriger Dimension multipliziert wird (niedriger als die ursprüngliche Matrix). Die Elemente der niedrigen Dimensionen-Matrix werden durch die Abschirmung der Zeilen und Spalten bestimmt, zu denen das ausgewählte Skalar gehört, und die restlichen Elemente bilden die niedrige Dimension Matrix. Bitte beachten Sie das folgende Beispiel.

Hier wählen wir zuerst die Elemente aus. Der A. Das blaue Element ist die Skala. Der Aund wird auch 3 × 3 Wir müssen die Reihenfolge der Matrix finden:

|a|=

Der A	B nach	und C	und D
und E	und F	und G	Die H
ich.	und J	Der K	Die L
Die M	Der N	Das o	und P

Der A

und F	und G	Die H
und J	Der K	Die L
Der N	Das o	und P

- ...

Als nächstes wählen wir die Elemente aus. B nach:

Der A	B nach	und C	und D
und E	und F	und G	Die H
ich.	und J	Der K	Die L
Die M	Der N	Das o	und P

und rArr

B nach

und E	und G	Die H
ich.	Der K	Die L
Die M	Das o	und P

Elementen auf die gleiche Weise fortsetzen und C und und D, und wechseln Sie das Symbol (- + -...) für jeden Begriff:

|a|=

Der A	B nach	und C	und D
und E	und F	und G	Die H
ich.	und J	Der K	Die L
Die M	Der N	Das o	und P

= Der A

und F	und G	Die H
und J	Der K	Die L
Der N	Das o	und P

-B.

und E	und G	Die H
ich.	Der K	Die L
Die M	Das o	und P

+ C für

und E	und F	Die H
ich.	und J	Die L
Die M	Der N	und P

- D der

und E	und F	und G
ich.	und J	Der K
Die M	Der N	Das o

Wir werden diesen Prozess fortsetzen. 3 × 3 Die Matrix (wie oben gezeigt), bis wir reduziert 4 × 4 Umwandlung von Matrizen in Skalar multipliziert mit 2 × 2 Die Matrix, in der wir die Linienformel mit der Leibniz-Formel berechnen können. Es ist zu sehen, dass es schnell langweilig wird, aber es ist eine Art von n × n Sobald Sie das Muster verstehen. Es gibt andere Methoden, um die Reihenfolge einer Matrix effizienter zu berechnen, aber das Verständnis anderer mathematischer Konzepte und Symbole ist erforderlich.

Die Umkehr der Matrix

Die umgekehrte Matrix und A Ausgedrückt als und A^{- 1 -}, wo ist und A^{- 1 -} Ja, das Gegenteil. und A Wenn Folgendes wahr ist:

A × A^{- 1 -} = für a^{- 1 -}× A = I, wobei ich. Einheit Matrix.

Identitätsmatrix:

Eine Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix mit einem „1“ an der Diagonale und ein „0“ an anderer Stelle. Die Einheitsmatrix ist die Äquivalenzmatrix der Zahl "1". Die Zahl 1 wird mit einer beliebigen Zahl multipliziert. Der N entspricht Der N. Das gleiche gilt für die Matrix der Einheit multipliziert mit der Matrix der gleichen Größe: A × I = A. Beachten Sie, dass eine Einheitsmatrix beliebige Quadratdimensionen haben kann. Zum Beispiel sind alle unten stehenden Matrizen Einheitenmatrizen. Von links nach rechts ist 2 × 2, 3 × 3, und 4 × 4 Identitätsmatrix:

eins	0
0	eins

; 　

eins	0	0
0	eins	0
0	0	eins

; 　

eins	0	0	0
0	eins	0	0
0	0	eins	0
0	0	0	eins

...

das hier n × n Die Matrix der Einheiten ist:

ich._{Der N} =

eins	0	0	...	0
0	eins	0	...	0
0	0	eins	...	0
...	...	...	...	...
0	0	0	...	eins

Umgekehrte Matrix der 2 × 2 Matrix:

Umkehren eines 2 × 2 Die Matrix kann die folgende Gleichung verwenden:

und A^{- 1 -} =

Der A	B nach
und C	und D

^{- 1 -}

eins

und D	-B.
- C.	Der A

Details (A)

eins

und D	-B.
- C.	Der A

v. Chr. - vor Christus

Nehmen wir zum Beispiel an:

und A =

2	vier.
3	sieben.

und A^{- 1 -} =

eins

sieben.	- vier
- 3 -	2

2x7 - 4x3

eins

sieben.	- vier
- 3 -	2

nach 3,5	- zwei
- 1,5	eins

Wenn Sie testen wollen, ist dies tatsächlich und A Sie werden beides finden:

2	vier.
3	sieben.

nach 3,5	- zwei
- 1,5	eins

und

nach 3,5	- zwei
- 1,5	eins

2	vier.
3	sieben.

entspricht der Einheitsmatrix:

Ich =

eins	0
0	eins

Umgekehrte Matrix der 3 × 3 Matrizen:

Die Umzählung von A 3 × 3 Die Berechnung der Matrix ist komplizierter. Im Folgenden wird eine Berechnungsformel angezeigt, die jedoch nicht berechnet wird. In Anbetracht:

m =

Der A	B nach	und C
und D	und E	und F
und G	Die H	ich.

Die M^{- 1 -} =

eins

Detektoren (M)

und A	B nach	und C
und D	und e	und F
Das G	und H	ich.

^{Der T}

eins

Detektoren (M)

und A	und D	Das G
B nach	und e	und H
und C	und F	ich.

von denen:

und A= ei-FH; B nach= (di-fg); und C= dh-eg und D=-(bi-ch); und e= ai-CG; und F=-(ah-BG) Das G= BF-CE; und H=-(af-CD); ich.für AE-BD

4 × 4 Es wird immer komplexer und es gibt andere Möglichkeiten, sie zu berechnen.