L'arrangement et la combinaison font partie de la branche mathématique de la composition, qui implique l'étude de structures discrètes limitées. L'arrangement est une sélection spécifique d'un groupe d'éléments, où l'ordre dans lequel les éléments sont placés est important, tandis que la composition implique la sélection des éléments indépendamment de l'ordre. Par exemple, un verrouillage cryptographique typique, selon les normes mathématiques, devrait techniquement être appelé verrouillage, car l'ordre dans lequel les nombres sont entrés est important; 1-2-9 est différent de 2-9-1, et pour une combinaison, un ordre de ces trois nombres est suffisant. Il existe différents types d'arrangements et de combinaisons, mais la calculatrice ci-dessus ne prend en compte que le cas où il n'y a pas de remplacement, également connu sous le nom d'absence de répétition. Cela signifie que pour l'exemple de verrouillage de mot de passe ci-dessus, la calculatrice ne calcule pas les cas où le verrouillage de mot de passe pourrait avoir des valeurs dupliquées, par exemple 3-3-3.
Disposer
La calculatrice fournie calcule l'un des concepts les plus typiques de l'arrangement, dans lequel un nombre fixe d'éléments sont disposés R àextrait de la collection donnée. à n. En gros, on peut appeler cela R-Substitution de n ou de substitution partielleexprimé comme à nà PR à, à nà PR à, à P(Terminé, terme), ou P(n,r) entre autres. En l'absence d'arrangement de remplacement, il est possible d'envisager toutes les façons possibles de répertorier les éléments d'une collection dans un ordre spécifique, mais chaque fois qu'un élément est sélectionné, le nombre de sélections diminue et, contrairement à un verrouillage "combinant", une valeur peut apparaître plusieurs fois, par exemple 3-3-3. Par exemple, lors de la tentative de déterminer le nombre de moyens par lesquels un capitaine et un gardien de but d'une équipe de football peuvent être sélectionnés parmi une équipe de 11 membres, le capitaine et le gardien de but ne peuvent pas être la même personne, une fois que le capitaine et le gardien de but ont été sélectionnés, ils doivent être retirés du groupe. Ces lettres. A à Traverser à k 11 membres différents de l'équipe seront représentés:
11 membres ; A est élu capitaine.
B C D E F G H I J K 10 membres; B est élu gardien.
Comme vous pouvez le constater, le premier choix est A à Devenu capitaine de l'un des onze membres originaux, mais depuis A à On ne peut pas être à la fois capitaine et gardien. A à Expulsé avant la deuxième sélection du gardien B à peut fabriquer. Si vous spécifiez l'emplacement de chaque membre de l'équipe, la probabilité totale est 11 × 10 × 9 × 8 × 7 ×... × 2 × 1, ou 11 multiplicateurs, écrit 11! . Cependant, étant donné que seuls le capitaine et le gardien sont importants dans ce cas, seuls les deux premiers choix 11 × 10 = 110 sont pertinents. Par conséquent, l'équation utilisée pour calculer l'arrangement supprime les éléments restants, c'est-à-dire 9 × 8 × 7 ×... × 2 × 1, ou 9! . L'équation générale du remplacement peut donc être écrite comme suit :
à nà PR à = à
N !
(N - R) !
Ou dans ce cas :
11à P2 = à
11 !
(11 à 2) !
= à
11 !
9 !
= 11 × 10 = 110
De même, la calculatrice fournie ne calcule pas l'arrangement de substitution, mais par curiosité, la formule est la suivante:
à nà PR à = pour nR à
Combinaison
Les combinaisons sont liées à l'arrangement parce qu'elles éliminent essentiellement tout arrangement redondant (comme décrit ci-dessous), car l'ordre dans les combinaisons n'a pas d'importance. Comme l'arrangement, les combinaisons peuvent être représentées de différentes manières, y compris à nà CR à, à nà CR à, à C(Terminé, terme), ou C (n, r)Ou le plus simple.
(
à n
)
R à
. Comme pour l'arrangement, la calculatrice fournie ne prend en compte que les combinaisons sans remplacement et ne discute pas les combinaisons avec remplacement. En prenant à nouveau l'exemple de l'équipe de football, découvrez comment sélectionner 2 attaquants parmi les équipes de 11 personnes. Contrairement à ce qui se passe dans l'exemple d'arrangement où le capitaine est sélectionné d'abord, puis le gardien de but, l'ordre dans lequel les attaquants sont sélectionnés n'a pas d'importance, car ils sont tous des attaquants. Une fois de plus, les lettres de l'équipe de football A à Traverser à kSi oui, peu importe. A à puis B à ou peut B à puis A à Dans leur ordre respectif ont été choisis comme l'avant-garde, mais ils ont été choisis. Nombre possible de tous les arrangements à n L’homme, c’est simple. N !comme indiqué dans la section d’arrangement. Pour déterminer le nombre de combinaisons, vous devez supprimer la redondance du nombre total d'arrangements en divisant la redondance (110 dans l'exemple précédent d'arrangement de la section), dans ce cas 2! . Encore une fois, c'est parce que l'ordre n'a plus d'importance, de sorte que l'équation d'arrangement doit réduire le nombre de façons que le joueur peut choisir, A à puis B à ou peut B à puis A à2 ou 2 ! . Cela donne la formule générale de la combinaison, c'est-à-dire la formule qui divise les nombres par des nombres redondants, souvent appelée coefficient binomique :
à nà CR à = à
N !
R ! × (n-r)
Ou dans ce cas :
11à C2 = à
11 !
2 ! × (11 - 2) !
= à
11 !
2 ! × 9 !
= 55
Il est logique d'avoir moins de choix de combinaisons que d'arrangements, car la redondance est supprimée. Par curiosité, l'équation pour les combinaisons de remplacement est fournie ci-dessous:
