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Calcolatore Matrice

In un contesto matematico, una matrice è un array rettangolare di numeri, simboli o espressioni disposti in righe e colonne. Le matrici sono spesso utilizzate in settori scientifici come la fisica, la grafica informatica, la teoria delle probabilità, la statistica, il calcolo, l'analisi numerica e così via.

dimensioni della matrice, di ADi solito è indicato come di m × n. Ciò significa che di A sì. di M linea e di N colonne. Quando si fa riferimento a un valore specifico (denominato elemento) in una matrice, di solito viene utilizzata una variabile con due indice per indicare la posizione di ciascun elemento nella matrice. Ad esempio, dato di A_{Io, J.}, dove I = 1 e di J = 3, di A_{di 1,3} è il valore dell'elemento nella terza colonna della prima riga della matrice.

Operazioni di matrice, come addizione, moltiplicazione, sottrazione e così via. È simile a ciò che la maggior parte delle persone potrebbe essere abituata a vedere in aritmetica di base e álgebra, ma è diverso in alcuni modi e soggetto a determinate limitazioni. Di seguito è riportata una descrizione delle operazioni di matrice che questo calcolatore può eseguire.

Matrice aggiunta

L'addizione della matrice può essere eseguita solo su una matrice della stessa dimensione. Ciò significa che è possibile aggiungere una matrice solo se entrambe le matrici sono di m × n. Ad esempio, è possibile aggiungere due o più 3 × 3, 1 × 2, oppure 5 × 4 della matrice. Non puoi aggiungere 2 × 3 con uno 3 × 2 Matrice A di 4 × 4 con uno di 3 × 3eccetera. Il numero di righe e colonne di tutte le matrici aggiunte deve corrispondere esattamente.

Se le dimensioni della matrice sono le stesse, l'aggiunta della matrice viene eseguita aggiungendo gli elementi corrispondenti nella matrice. Ad esempio, dato due matrici, di A e di BCon elementi. di A_{Io, J.}, e di B_{Io, J.}Aggiungere la matrice aggiungendo ogni elemento e quindi inserendo il risultato in una nuova matrice, di Cnelle posizioni corrispondenti della matrice:

A =

uno.	2
3	quattro.

; B =

5	6
sette.	8

Nella matrice di cui sopra, di A_{di 1,1} = 1; di A_{di 1, 2} = 2; di B_{di 1,1} = 5; di B_{di 1, 2} = 6; aspetta. Aggiungiamo gli elementi corrispondenti per ottenere di C_{Io, J.}. Aggiungi i valori nelle corrispondenti righe e colonne:

di A_{di 1,1} + B di_{di 1,1} = 1 + 5 = 6 = c_{di 1,1}

di A_{di 1, 2} + B di_{di 1, 2} = 2 + 6 = 8 = c_{di 1, 2}

di A_{di 2, 1} + B di_{di 2, 1} = 3 + 7 = 10 = c_{di 2, 1}

di A_{di 2,2} + B di_{di 2,2} = 4 + 8 = 12 = c_{di 2,2}

Pertanto, la matrice di C sì:

C =

6	8
10	12

sottrazione della matrice

La sottrazione della matrice viene eseguita in modo sostanzialmente identico all'addizione della matrice sopra descritta, tranne che i valori sono sottrazione piuttosto che addizione. Se necessario, fare riferimento alle informazioni e agli esempi precedenti per la descrizione dei simboli utilizzati negli esempi seguenti. Come per l'addizione di una matrice, la matrice sottraente deve avere la stessa dimensione. Se la matrice ha le stesse dimensioni, la sottrazione della matrice viene eseguita sottraendo gli elementi nelle corrispondenti righe e colonne:

A =

uno.	2
3	quattro.

; B =

5	6
sette.	8

di A_{di 1,1} -B._{di 1,1} = 1 - 5 = -4 = c_{di 1,1}

di A_{di 1, 2} -B._{di 1, 2} = 2 - 6 = -4 = c_{di 1, 2}

di A_{di 2, 1} -B._{di 2, 1} = 3 - 7 = -4 = c_{di 2, 1}

di A_{di 2,2} -B._{di 2,2} = 4 - 8 = -4 = c_{di 2,2}

Pertanto, la matrice di C sì:

C =

- Quattro	- Quattro
- Quattro	- Quattro

Moltiplicazione della matrice

Moltiplicazione scala:

Moltiplicando ogni elemento della matrice per il valore scalar, è possibile moltiplicare la matrice per il valore scalar. Ad esempio, per una matrice di A e un indicatore. di C:

A =

uno.	2
3	quattro.

; C = 5

Il prodotto di C e di A sì:

5 ×

uno.	2
3	quattro.

＝

5	10
15	20

Matrice - moltiplicazione della matrice:

La moltiplicazione di due (o più) matrici è più complessa della moltiplicazione scala. Per moltiplicare due matrici, il numero di colonne nella prima matrice deve corrispondere al numero di righe nella seconda matrice. Ad esempio, potresti prendere una di 2 × 3 Matrice moltiplicata per a 3 × 4 Matrix, ma non di 2 × 3 Matrice moltiplicata per a quattro. × 3.

Può essere moltiplicato:

A =

di A_{di 1,1}	di A_{di 1, 2}	di A_{di 1,3}
di A_{di 2, 1}	di A_{di 2,2}	di A_{di 2,3}

; B =

di B_{di 1,1}	di B_{di 1, 2}	di B_{di 1,3}	di B_{di 1,4}
di B_{di 2, 1}	di B_{di 2,2}	di B_{di 2,3}	di B_{di 2,4}
di B_{3, 1}	di B_{3, 2}	di B_{3, 3}	di B_{3, 4}

Non si può moltiplicare:

A =

di A_{di 1,1}	di A_{di 1, 2}	di A_{di 1,3}
di A_{di 2, 1}	di A_{di 2,2}	di A_{di 2,3}

; B =

di B_{di 1,1}	di B_{di 1, 2}	di B_{di 1,3}
di B_{di 2, 1}	di B_{di 2,2}	di B_{di 2,3}
di B_{3, 1}	di B_{3, 2}	di B_{3, 3}
di B_{4, 1}	di B_{4, 2}	di B_{Quattro, tre}

notate che quando la matrice viene moltiplicata, A × B Non necessariamente uguale B × A. In realtà, solo perché di A Si può moltiplicare di B Non significa che di B Si può moltiplicare di A.

Se la dimensione della matrice è corretta e può essere moltiplicata, la matrice viene moltiplicata eseguendo il prodotto dei punti. Il prodotto di punti consiste nel moltiplicare l'elemento corrispondente nella riga della prima matrice per l'elemento corrispondente nella colonna della seconda matrice e quindi sommare il risultato per ottenere un valore. Il prodotto dei punti può essere eseguito solo su sequenze di uguale lunghezza. Questo è il motivo per cui il numero di colonne della prima matrice deve corrispondere al numero di righe della seconda matrice.

Il prodotto dei punti diventa quindi il valore nelle corrispondenti righe e colonne della nuova matrice, di C. Ad esempio, dalla matrice moltiplicabile sopra, la riga blu in di A Moltiplicare la colonna blu. di B Determina il valore nella prima colonna della prima riga della matrice di C. Questo è chiamato il prodotto dei punti della riga 1. di A E la colonna 1 di B:

di A_{di 1,1}× b_{di 1,1} + di A_{di 1, 2}× b_{di 2, 1} + di A_{di 1,3}× b_{3, 1} = di c_{di 1,1}

Eseguire il prodotto per ogni riga di A ogni colonna di B Fino a quando tutte le combinazioni dei due sono completate in modo da trovare il valore dell'elemento corrispondente nella matrice di C. Ad esempio, quando si esegue il prodotto dei punti della riga 1 di A E la colonna 1 di BIl risultato sarà di C_{di 1,1} di Matrix. di C. Il prodotto della riga 1 di A e la seconda colonna di B sarà di C_{di 1, 2} di Matrix. di C, e così via, come nell'esempio seguente:

A =

uno.	2	uno.
3	quattro.	uno.

; B =

5	6	uno.	uno.
sette.	8	uno.	uno.
uno.	uno.	uno.	uno.

In questo caso, quando due matrici vengono moltiplicate, il numero di righe della matrice risultante sarà uguale al numero di righe della prima matrice. di Ae lo stesso numero di colonne della seconda matrice, di B. perché di A sì. 2 × 3 e di B sì. 3 × quattro., di C Sarà uno 2 × quattro. della matrice. I colori qui aiutano in primo luogo a determinare se due matrici possono essere moltiplicate e, in secondo luogo, aiutano a determinare le dimensioni della matrice risultante. Successivamente possiamo determinare il valore dell'elemento di C Eseguendo il prodotto di punti per ogni riga e colonna, come segue:

C =

20	23	quattro.	quattro.
44	51	8	8

Il prodotto di ogni riga e colonna è calcolato come segue di C Mostra come:

di C_{di 1,1} = 1×5 + 2×7 + 1×1 = 20

di C_{di 1, 2} = 1×6 + 2×8 + 1×1 = 23

di C_{di 1,3} = 1×1 + 2×1 + 1×1 = 4

di C_{di 1,4} = 1×1 + 2×1 + 1×1 = 4

di C_{di 2, 1} = 3×5 + 4×7 + 1×1 = 44

di C_{di 2,2} = 3×6 + 4×8 + 1×1 = 51

di C_{di 2,3} = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8

di C_{di 2,4} = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8

L'entropia della matrice

Per questa calcolatrice, la "entropia della matrice" si riferisce alla entropia della matrice data. Ad esempio, quando si utilizza una calcolatrice, dato il "potere di 2" della matrice, di Ache significa di A². Oltre che si applica anche la regola della moltiplicazione della matrice, l'esponente della matrice funziona allo stesso modo della normale funzione della matematica, quindi solo una matrice quadrata (una matrice con lo stesso numero di righe e colonne) può essere elevata alla potenza. Questo perché la matrice non quadrata, di ANon si può moltiplicare con se stessi. di A × AIn questo caso non è possibile calcolare. Se necessario, si prega di fare riferimento alla sezione di moltiplicazione della matrice per esaminare come si esegue la moltiplicazione della matrice. Considerando che:

A =

uno.	3
2	uno.

di A 2 L'entropia è:

di A² ＝

uno.	3
2	uno.

＝

uno.	3
2	uno.

uno.	3
2	uno.

＝

sette.	6
quattro.	sette.

Come per gli indici in altri contesti matematici, di A³sarà uguale a A × A × A, di A^quattro. sarà uguale a A × A × A × AAspetta, aspetta.

Trasferimento della matrice

La trasformazione della matrice (spesso espressa con una "T" come esponente) è un'operazione che capovolge la matrice sulla diagonale della matrice. Ciò comporta lo scambio degli indici di riga e colonna della matrice, il che significa che di A_{all'interno del collo} all'interno della matrice di Adiventare di A_{Essere nervoso (abbreviazione di Jittery)} in di A^{di T}. Se necessario, si prega di fare riferimento alla descrizione dei simboli utilizzati sopra.

uno; uno. di m × n Matrice, trasferimento, e quindi diventerà n × m Matrice, come mostrato nell'esempio seguente:

A =

uno.	3
2	uno.

di A^{di T} ＝

uno.	2
3	uno.

B =

20	23	quattro.	quattro.
44	51	8	8

di B^{di T} ＝

20	44
23	51
quattro.	8
quattro.	8

Le linee della matrice

La matrice è un valore che può essere calcolato dagli elementi della matrice. Viene utilizzato in algebra lineare, calcolo e altri contenuti matematici. Ad esempio, la formula lineare può essere utilizzata per calcolare la matrice inversa di una matrice o per risolvere un sistema di equazioni lineari.

Esistono molti metodi e formule per il calcolo della matrice. La formula di Leibniz e la formula di Laplace sono due formule comunemente usate.

Formato della matrice 2 × 2:

Ordine di A di 2 × 2 Le matrici possono essere calcolate utilizzando le formule di Leibniz, che implicano alcune aritmetica di base. una determinata matrice di A:

A =

di A	di B
di C	di D

delle linee di A Utilizzando la formula di Leibniz è:

|A|=

di A	di B
di C	di D

= A.C. - Pre-C.

Si noti che le colonne sono solitamente rappresentate da "| |" intorno a una determinata matrice. Considerando che:

A =

2	quattro.
6	8

|A|=

2	quattro.
6	8

＝

2x8 - 4x6

＝

- 8 di

Formato di matrice 3 × 3:

Un modo per calcolare la linea è di 3 × 3 La matrice è ottenuta utilizzando la formula di Laplace. Sia la formula di Laplace che la formula di Leibniz possono essere espresse matematicamente, ma l'uso di simboli e concetti non è discusso qui. Ecco un esempio di come usare la formula di Laplace per calcolare la formula a di 3 × 3 Matrice:

|A|=

di A	di B	di C
di D	e.	di F
di G	di H	io

＝

di A

e.	di F
di H	io

-B.

di D	di F
di G	io

+ C di

di D	e.
di G	di H

Da questo punto possiamo usare la formula di Leibniz per calcolare a di 2 × 2 La matrice viene utilizzata per calcolare l'ordine della matrice 2 × 2, poiché la moltiplicazione scalarica della matrice semplicemente moltiplica tutti i valori della matrice per la scala, quindi possiamo di 2 × 2 Espressione da scala come segue:

|A|=

di A	di B	di C
di D	e.	di F
di G	di H	io

＝

a (ei-FH) - b (di-fg) + c (DH-eg)

Questo può essere ulteriormente semplificato in:

|A| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

Questa è la formula di Leibniz di A. di 3 × 3 della matrice.

4 × 4 matrice e matrice superiore:

Ordine di A di 4 × 4 Matrici e metodi di calcolo più avanzati di 3 × 3Utilizzare la formula di Laplace o la formula di Leibniz. Come l'esempio sopra. di 3 × 3 Matrice, potresti notare un modello che ti consente di "simplificare" una matrice data in una serie scalarica moltiplicata per la matrice di dimensioni decrescenti, cioè di 4 × 4 ridotto a una serie di scale moltiplicate per di 3 × 3 La matrice, in cui ogni coppia successiva Scalaria x Matrice semplificata I segni positivi e negativi cambiano in modo alternativo (cioè, i segni positivi e negativi vengono aggiunti o sottratti).

Il processo consiste nel ciclo di ogni elemento nella prima riga della matrice. Alla fine, otterremo un'espressione in cui ogni elemento nella prima riga verrà moltiplicato per una matrice a bassa dimensione (al di sotto della matrice originale). Gli elementi della matrice a bassa dimensione vengono determinati bloccando le righe e le colonne a cui appartiene il scala selezionato, mentre gli altri elementi costituiscono la matrice a bassa dimensione. Si prega di fare riferimento agli esempi seguenti per illustrare.

Per prima cosa scegliamo gli elementi. di A. L'elemento blu è scala, di AE diventerà di 3 × 3 Dobbiamo trovare l'ordine della matrice:

|A|=

di A	di B	di C	di D
e.	di F	di G	di H
io	di J	di K	di L
di M	di N	o di	di P

＝

di A

di F	di G	di H
di J	di K	di L
di N	o di	di P

- ...

Poi scegliamo gli elementi. di B:

di A	di B	di C	di D
e.	di F	di G	di H
io	di J	di K	di L
di M	di N	o di	di P

di &RArr

di B

e.	di G	di H
io	di K	di L
di M	o di	di P

Continua con gli elementi allo stesso modo di C e di D, e il segno alternativo (- + - ...) per ogni termine:

|A|=

di A	di B	di C	di D
e.	di F	di G	di H
io	di J	di K	di L
di M	di N	o di	di P

＝ di A

di F	di G	di H
di J	di K	di L
di N	o di	di P

-B.

e.	di G	di H
io	di K	di L
di M	o di	di P

+ C di

e.	di F	di H
io	di J	di L
di M	di N	di P

- di d

e.	di F	di G
io	di J	di K
di M	di N	o di

Continueremo questo processo. di 3 × 3 La matrice (come mostrato sopra) finché non riduciamo di 4 × 4 Conversione della matrice in scala moltiplicata per di 2 × 2 La matrice, in cui possiamo calcolare la formula di Leibniz. Come si può vedere, questo diventa presto noioso, ma questo è uno che può essere utilizzato n × n Una volta compreso il modello. Esistono altri modi per calcolare in modo più efficiente l'arrangiamento di una matrice, ma è necessario comprendere altri concetti e simboli matematici.

L'inverso della matrice

La matrice inversa della matrice di A indicato come di A^{- 1 -}, dove di A^{- 1 -} Sì, il contrario. di A Se il seguente è vero:

di A × A^{- 1 -} = di A^{- 1 -}× A = I, dove io Matrice di unità.

Matrice di identità:

Una matrice di unità è una matrice quadrata con un "1" sulla diagonale e un "0" ovunque. La matrice di unità è una matrice equivalente del numero "1". Per esempio, il numero 1 viene moltiplicato per qualsiasi numero. di N uguale a di N. Lo stesso vale per la matrice unitaria moltiplicata per la matrice della stessa dimensione: A × I = A. Si noti che una matrice di unità può avere qualsiasi numero di dimensioni quadrate. Ad esempio, tutte le matrici seguenti sono matrici di unità. Da sinistra a destra sono di 2 × 2, di 3 × 3, e di 4 × 4 Matrice di identità:

uno.	0
0	uno.

; 　

uno.	0	0
0	uno.	0
0	0	uno.

; 　

uno.	0	0	0
0	uno.	0	0
0	0	uno.	0
0	0	0	uno.

...

questo. n × n Quindi la matrice unitaria è:

io_{di N} ＝

uno.	0	0	...	0
0	uno.	0	...	0
0	0	uno.	...	0
...	...	...	...	...
0	0	0	...	uno.

La matrice inversa della matrice 2 × 2:

Invertite una di 2 × 2 La matrice può essere utilizzata con la seguente equazione:

di A^{- 1 -} ＝

di A	di B
di C	di D

^{- 1 -}

＝

uno.

di D	-B.
- C.	di A

Dettagli (A)

＝

uno.

di D	-B.
- C.	di A

A.C. - Pre-C.

Ad esempio, supponiamo:

A =

2	quattro.
3	sette.

di A^{- 1 -} ＝

uno.

sette.	- Quattro
- 3	2

2x7 - 4x3

＝

uno.

sette.	- Quattro
- 3	2

＝

3.5 di	- Due
- 1,5	uno.

Se stai per testare questo è in realtà di A Troverete entrambi:

2	quattro.
3	sette.

3.5 di	- Due
- 1,5	uno.

3.5 di	- Due
- 1,5	uno.

2	quattro.
3	sette.

uguale alla matrice di unità:

Io =

uno.	0
0	uno.

La matrice inversa della matrice 3 × 3:

Conto inverso di A di 3 × 3 Il calcolo della matrice è più complesso. Di seguito viene fornita una formula di calcolo, ma non viene eseguito alcun calcolo. Considerando che:

di m =

di A	di B	di C
di D	e.	di F
di G	di H	io

di M^{- 1 -} ＝

uno.

Il rilevatore (M)

di A	di B	di C
di D	di E	di F
di G	di H	io

^{di T}

＝

uno.

Il rilevatore (M)

di A	di D	di G
di B	di E	di H
di C	di F	io

di cui:

di A= ei-FH; di B= (di-fg); di C= dh-eg di D= - (bi-ch); di E= ai-CG; di F=-(ah-BG) di G= BF-ce; di H=-(af-CD); iodi AE-BD

di 4 × 4 Sempre più complessi, ci sono altri modi per calcolarli.