배열과 조합은 제한된 이산 구조를 연구하는 수학 분기 조합학의 일부입니다. 정렬은 요소 그룹에 대한 특정 선택으로, 요소 정렬 순서가 중요한 반면 조합은 순서에 관계없이 요소 선택을 포함합니다. 예를 들어, 일반적인 암호 잠금은 수학 표준에 따라 숫자 입력 순서가 중요하기 때문에 기술적으로 정렬 잠금이라고 합니다. 1-2-9 는 2-9-1 과 다르며, 조합의 경우 이 세 숫자의 모든 순서가 충분합니다. 서로 다른 유형의 배열과 조합이 있지만 위의 계산기는 교체가 없는 상황만 고려하며 중복 없음이라고도 합니다. 즉, 위의 코드 잠금 예에서 계산기는 3-3-3 과 같이 코드 잠금에 중복 값이 있을 수 있는 경우를 계산하지 않습니다.
배열하다
제공된 계산기는 가장 일반적인 배열 개념 중 하나를 계산합니다. 이 중 고정된 수의 요소 정렬이 있습니다 R, 주어진 컬렉션에서 N。 본질적으로 이것은 N 또는 부분 변위의 r- 변위, 로 표시 NP.R그리고, NP.R그리고, P.(명사, 명사), 또는 P(n, r) 그 외. 대체 정렬이 없는 경우 세트의 요소를 특정 순서로 나열할 수 있는 모든 방법을 고려할 수 있지만, 요소를 선택할 때마다 선택 수가 줄어듭니다 (예: 3-3-3). 예를 들어, 축구팀의 대장과 골키퍼가 11 명으로 구성된 팀에서 선택할 수 있는 방법의 수를 결정하려고 할 때, 대장과 골키퍼는 같은 사람이 될 수 없으며, 일단 대장과 골키퍼를 선택하면 그 팀에서 제거해야 한다. 그 편지들 A 지나가다 K 팀을 대표할 11 명의 다른 멤버:
A B C D E F G H I J K 11 멤버; A 가 대장으로 뽑히다
B C D E F G H I J K 10 멤버; B 골키퍼로 뽑히다
보시다시피, 첫 번째 선택은 A 처음 11 명 중 대장이 됐지만 A 대장과 골키퍼가 될 수 없습니다. A 골키퍼를 두 번째로 선택하기 전에 쫓겨났다 B 만들 수 있습니다. 팀의 각 구성원의 위치를 지정하면 총 가능성은 11 × 10 × 9 × 8 × 7 ×...× 2 × 1 또는 11 계승, 11! 。 그러나 이 경우 대장과 골키퍼만 중요하기 때문에 처음 두 가지 선택인 11 × 10 = 110 만 관련되어 있다. 따라서 배열을 계산하는 데 사용되는 방정식은 나머지 요소, 즉 9 × 8 × 7 ×...× 2 × 1 또는 9 를 제거합니다! 。 따라서 배열 된 일반화 된 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
NP.R =
N!
(n-r)!
또는 이 경우:
11P.2 =
11!
(11-2)!
=
11!
9!
= 11 × 10 = 110
마찬가지로 제공된 계산기는 변위 정렬을 계산하지 않지만 호기심 때문에 공식은 다음과 같습니다.
NP.R = nR
콤비네이션
조합은 본질적으로 모든 중복 정렬을 제거하므로 정렬과 관련이 있습니다 (아래 설명 참조). 조합의 순서는 중요하지 않기 때문입니다. 배열과 마찬가지로 조합은 다음과 같은 여러 가지 방법으로 표시됩니다 NCR그리고, NCR그리고, C(명사, 명사), 또는 C(n, r), 또는 가장 일반적인 단순
(참조)
N
) 을 참조하십시오
R
。 배열과 마찬가지로 제공된 계산기는 대치되지 않은 조합만 고려하며 교체된 조합은 논의하지 않습니다. 다시 한 번 축구팀을 예로 들어 11 인 팀 중 2 명의 공격수를 선택하는 방법을 찾아낸다. 배열 예에서 먼저 대장을 선택한 다음 골키퍼를 선택하는 것과는 달리 공격수를 선택하는 순서는 중요하지 않다. 모두 공격수이기 때문이다. 축구팀의 자모를 다시 언급하다 A 지나가다 K예, 중요하지 않습니다 A 그리고 나서 B 또는 B 그리고 나서 A 각자의 질서에서 공격수로 뽑혔지만, 그들은 선발되었다. 모든 약정의 가능한 수량 N 사람은 간단하다. N!, 정렬 섹션에 설명된 대로. 조합의 수를 결정하려면 중복을 분할하여 총 배열 수 (정렬 섹션의 이전 예에서는 110) 에서 중복을 제거해야 합니다. 이 경우 2! 。 마찬가지로 순서는 더 이상 중요하지 않기 때문에 방정식을 정렬하려면 플레이어가 선택할 수 있는 방법의 수를 줄여야 합니다. A 그리고 나서 B 또는 B 그리고 나서 A, 2, 아니면 2! 。 이렇게 하면 조합의 일반 공식, 즉 배열을 중복수로 나누는 공식, 일반적으로 이항 계수라고 합니다.
NCR =
N!
R! ×(n-r)
또는 이 경우:
11C2 =
11!
2! × (11-2)!
=
11!
2! × 9!
= 55
조합의 선택이 배열보다 적다는 것은 일리가 있다. 중복이 제거되었기 때문이다. 호기심에서 대체 조합에 대한 방정식은 다음과 같습니다.
