矩陣計算器

在數學上下文中，矩陣是按行和列排列的數字、符號或表達式的矩形陣列。矩陣經常用于科學領域，如物理學、計算機圖形學、概率論、統計學、微積分、數值分析等。

矩陣的維數， A，通常表示為 m × n。這意味著 A 有 m 行和 n 列。當引用矩陣中的特定值（稱為元素）時，通常使用帶有兩個下標的變量來表示每個元素在矩陣中的位置。例如，給定 a_我，j，在哪里 i = 1 和 j = 3, a_1,3 是給定矩陣第一行第三列中元素的值。

矩陣運算，如加、乘、減等。，類似于大多數人可能習慣于在基本算術和代數中看到的內容，但在某些方面確實有所不同，并且受到某些限制。以下是此計算器可以執行的矩陣運算的描述。

矩陣加法

矩陣加法只能在相同大小的矩陣上執行。這意味著只有當兩個矩陣都是時，才能添加矩陣 m × n。例如，您可以添加兩個或更多 3 × 3, 1 × 2，或者 5 × 4 矩陣。您不能添加 2 × 3 和一個 3 × 2 矩陣a 4 × 4 和一個 3 × 3等。添加的所有矩陣的行數和列數必須完全匹配。

如果矩陣大小相同，則通過添加矩陣中的相應元素來執行矩陣加法。例如，給定兩個矩陣， A 和 B，帶有元素 a_我，j，以及 b_我，j通過添加每個元素來添加矩陣，然后將結果放入新的矩陣中， C，在矩陣中的相應位置:

A =

一	2
3	四

；B =

5	6
七	8

在上述矩陣中， a_1,1 = 1； a_1,2 = 2； b_1,1 = 5； b_1,2 = 6；等等。我們添加相應的元素來獲得 c_我，j。將相應行和列中的值相加:

a_1,1 + b_1,1 = 1 + 5 = 6 = c_1,1

a_1,2 + b_1,2 = 2 + 6 = 8 = c_1,2

a_2,1 + b_2,1 = 3 + 7 = 10 = c_2,1

a_2,2 + b_2,2 = 4 + 8 = 12 = c_2,2

因此，矩陣 C 是:

C =

6	8
10	12

矩陣減法

矩陣減法的執行方式與上述矩陣加法基本相同，只是數值是相減而不是相加。如有必要，請參考上面的信息和示例，了解下面示例中使用的符號說明。像矩陣加法一樣，被減法運算的矩陣必須大小相同。如果矩陣大小相同，則通過減去相應行和列中的元素來執行矩陣減法:

A =

一	2
3	四

；B =

5	6
七	8

a_1,1 -乙_1,1 = 1 - 5 = -4 = c_1,1

a_1,2 -乙_1,2 = 2 - 6 = -4 = c_1,2

a_2,1 -乙_2,1 = 3 - 7 = -4 = c_2,1

a_2,2 -乙_2,2 = 4 - 8 = -4 = c_2,2

因此，矩陣 C 是:

C =

-4	-4
-4	-4

矩陣乘法

標量乘法:

通過將矩陣中的每個元素乘以標量，可以將矩陣乘以標量值。例如，給定一個矩陣 A 和一個標量 c：

A =

一	2
3	四

；c = 5

的產物 c 和 A 是:

5 ×

一	2
3	四

5	10
15	20

矩陣-矩陣乘法:

兩個（或更多）矩陣相乘比標量相乘更復雜。為了將兩個矩陣相乘，第一個矩陣中的列數必須與第二個矩陣中的行數相匹配。例如，您可以將一個 2 × 3 矩陣乘a 3 × 4 矩陣，但不是 2 × 3 矩陣乘a 四 × 3。

可以相乘:

A =

a_1,1	a_1,2	a_1,3
a_2,1	a_2,2	a_2,3

；B =

b_1,1	b_1,2	b_1,3	b_1,4
b_2,1	b_2,2	b_2,3	b_2,4
b_3,1	b_3,2	b_3,3	b_3,4

不能相乘:

A =

a_1,1	a_1,2	a_1,3
a_2,1	a_2,2	a_2,3

；B =

b_1,1	b_1,2	b_1,3
b_2,1	b_2,2	b_2,3
b_3,1	b_3,2	b_3,3
b_4,1	b_4,2	b_4,3

注意當矩陣相乘時， A × B 不一定等于 B × A。事實上，僅僅因為 A 可以乘以 B 并不意味著 B 可以乘以 A。

如果矩陣大小正確，并且可以相乘，則矩陣通過執行點積來相乘。點積包括將第一個矩陣的行中對應的元素乘以第二個矩陣的列中對應的元素，然后對結果求和，得到一個值。點積只能在長度相等的序列上執行。這就是為什么第一個矩陣的列數必須與第二個矩陣的行數相匹配。

然后點積變成新矩陣的相應行和列中的值， C。例如，從上述可相乘的矩陣中，中的藍色行 A 乘以中的藍色列 B 確定矩陣第一行第一列中的值 C。這被稱為的第1行的點積 A 和的第1列 B：

a_1,1×b_1,1 + a_1,2×b_2,1 + a_1,3×b_3,1 = c_1,1

對每行執行點積 A 每一列 B 直到兩者的所有組合完成，以便找到矩陣中相應元素的值 C。例如，當您執行的第1行的點積時 A 和的第1列 B，結果將是 c_1,1 矩陣的 C。的第1行的點積 A 和第2列 B 將會 c_1,2 矩陣的 C，依此類推，如下例所示:

A =

一	2	一
3	四	一

；B =

5	6	一	一
七	8	一	一
一	一	一	一

在這種情況下，當兩個矩陣相乘時，結果矩陣的行數將與第一個矩陣的行數相同 A和與第二矩陣相同數量的列， B。因為 A 是 2 × 3 和 B 是 3 × 四, C 將是一個 2 × 四 矩陣。這里的顏色首先有助于確定兩個矩陣是否可以相乘，其次有助于確定結果矩陣的維數。接下來，我們可以確定的元素值 C 通過執行每行和每列的點積，如下所示:

C =

20	23	四	四
44	51	8	8

的每行和每列的點積計算如下 C 顯示為:

c_1,1 = 1×5 + 2×7 + 1×1 = 20

c_1,2 = 1×6 + 2×8 + 1×1 = 23

c_1,3 = 1×1 + 2×1 + 1×1 = 4

c_1,4 = 1×1 + 2×1 + 1×1 = 4

c_2,1 = 3×5 + 4×7 + 1×1 = 44

c_2,2 = 3×6 + 4×8 + 1×1 = 51

c_2,3 = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8

c_2,4 = 3×1 + 4×1 + 1×1 = 8

矩陣的冪

對于這個計算器來說，“矩陣的冪”是指給定矩陣的冪。例如，使用計算器時，給定矩陣的“2的冪”， A，意味著 A²。除了矩陣乘法規則也適用之外，矩陣指數的功能與數學中的正常功能相同，因此只有方陣（具有相同行數和列數的矩陣）可以被提升到冪。這是因為非正方形矩陣， A，不能與自身相乘。 A × A在這種情況下，無法計算。如有必要，請參考矩陣乘法部分，復習如何進行矩陣乘法。鑒于:

A =

一	3
2	一

A 2的冪是:

A² =

一	3
2	一

一	3
2	一

一	3
2	一

七	6
四	七

與其他數學上下文中的指數一樣， A³，將等于 A × A × A, A^四 會等于 A × A × A × A，等等。

矩陣轉置

矩陣的轉置（通常用“T”作為指數表示）是一種在矩陣對角線上翻轉矩陣的操作。這導致交換矩陣的行和列索引，這意味著 a_頸內 在矩陣中 A，變成 a_{神經過敏的（jittery的縮寫）} 在 A^T。如有必要，請參考上文對所用符號的描述。

一；一個 m × n 矩陣，轉置，因此將成為 n × m 矩陣，如下例所示:

A =

一	3
2	一

A^T =

一	2
3	一

B =

20	23	四	四
44	51	8	8

B^T =

20	44
23	51
四	8
四	8

矩陣的行列式

矩陣的行列式是可以從方陣的元素中計算出來的值。它用于線性代數、微積分和其他數學內容。例如，行列式可用于計算矩陣的逆矩陣或求解線性方程組。

有許多計算矩陣行列式的方法和公式。萊布尼茨公式和拉普拉斯公式是兩個常用的公式。

2 × 2矩陣的行列式:

a的行列式 2 × 2 矩陣可以使用萊布尼茨公式計算，這涉及到一些基本的算術。給定矩陣 A：

A =

a	b
c	d

的行列式 A 使用萊布尼茨公式是:

|A| =

a	b
c	d

=公元-公元前

請注意，取行列式通常用給定矩陣周圍的“| |”表示。鑒于:

A =

2	四
6	8

|A| =

2	四
6	8

2×8 - 4×6

-8

3 × 3矩陣的行列式:

計算行列式的一種方法是 3 × 3 矩陣是通過使用拉普拉斯公式得到的。拉普拉斯公式和萊布尼茨公式都可以用數學方法表示，但涉及符號和概念的使用，這里不討論。下面是一個如何使用拉普拉斯公式計算a的行列式的例子 3 × 3 矩陣:

|A| =

a	b	c
d	e	f
g	h	我

e	f
h	我

-乙

d	f
g	我

+ c

d	e
g	h

從這一點出發，我們可以用萊布尼茨公式來計算a 2 × 2 矩陣來計算2 × 2矩陣的行列式，由于矩陣的標量乘法只是將矩陣的所有值乘以標量，因此我們可以將 2 × 2 由標量表示如下:

|A| =

a	b	c
d	e	f
g	h	我

a（ei-FH）-b（di-fg）+c（DH-eg）

這可以進一步簡化為:

|A| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

這是a的萊布尼茨公式 3 × 3 矩陣。

4 × 4矩陣及更高矩陣的行列式:

a的行列式 4 × 4 矩陣和更高級的計算方法與 3 × 3使用拉普拉斯公式或萊布尼茨公式。和上面的例子一樣 3 × 3 矩陣，您可能會注意到一種模式，它允許您將給定的矩陣“簡化”為一個標量乘以降維矩陣的行列式，即 4 × 4 被簡化為一系列標量乘以 3 × 3 矩陣，其中每對后續的 標量×簡化矩陣 正負符號交替變化（即正負符號相加或相減）。

該過程包括循環遍歷矩陣第一行中的每個元素。最終，我們將得到一個表達式，其中第一行中的每個元素都將乘以一個低維矩陣（比原始矩陣低）。低維矩陣的元素是通過屏蔽所選標量所屬的行和列來確定的，其余元素構成低維矩陣。請參考下面的示例進行說明。

這里，我們首先選擇元素 a。藍色的元素是標量， a，以及將成為 3 × 3 我們需要找到矩陣的行列式:

|A| =

a	b	c	d
e	f	g	h
我	j	k	l
m	n	o	p

f	g	h
j	k	l
n	o	p

-...

接下來，我們選擇元素 b：

a	b	c	d
e	f	g	h
我	j	k	l
m	n	o	p

& rArr

e	g	h
我	k	l
m	o	p

對元素以相同的方式繼續 c 和 d，并交替符號（- + -...）的每個術語:

|A| =

a	b	c	d
e	f	g	h
我	j	k	l
m	n	o	p

= a

f	g	h
j	k	l
n	o	p

-乙

e	g	h
我	k	l
m	o	p

+ c

e	f	h
我	j	l
m	n	p

- d

e	f	g
我	j	k
m	n	o

我們將繼續這一進程 3 × 3 矩陣（如上所示），直到我們減少了 4 × 4 矩陣轉換為標量乘以 2 × 2 矩陣，其中我們可以使用萊布尼茨公式計算行列式。可以看出，這很快就變得乏味了，但這是一種可用于 n × n 一旦你理解了模式。還有其他方法可以更有效地計算矩陣的行列式，但需要理解其他數學概念和符號。

矩陣的逆

矩陣的逆矩陣 A 表示為 A^-1，在哪里 A^-1 是的反義詞 A 如果以下為真:

A×A^-1 = A^-1×A = I，其中我是單位矩陣

身份矩陣:

單位矩陣是一個對角線上有“1”的正方形矩陣，其他地方都是“0”。單位矩陣是數字“1”的等價矩陣。例如，數字1乘以任何數字 n 等于 n。單位矩陣乘以相同大小的矩陣也是如此: A × I = A。請注意，單位矩陣可以有任何平方維數。例如，下面所有的矩陣都是單位矩陣。從左到右分別是 2 × 2, 3 × 3，以及 4 × 4 身份矩陣:

一	0
0	一

；　

一	0	0
0	一	0
0	0	一

；　

一	0	0	0
0	一	0	0
0	0	一	0
0	0	0	一

...

這 n × n 因此，單位矩陣是:

我_n =

一	0	0	...	0
0	一	0	...	0
0	0	一	...	0
...	...	...	...	...
0	0	0	...	一

2 × 2矩陣的逆矩陣:

反轉一個 2 × 2 矩陣，可以使用下面的等式:

A^-1 =

a	b
c	d

^-1

一

d	-乙
-丙	a

細節（A）

一

d	-乙
-丙	a

公元-公元前

例如，假設:

A =

2	四
3	七

A^-1 =

一

七	-4
-3	2

2×7 - 4×3

一

七	-4
-3	2

3.5	-2
-1.5	一

如果你要測試這實際上是 A 你會發現兩者:

2	四
3	七

3.5	-2
-1.5	一

和

3.5	-2
-1.5	一

2	四
3	七

等于單位矩陣:

我=

一	0
0	一

3 × 3矩陣的逆矩陣:

a的倒數 3 × 3 矩陣計算起來更繁瑣。下面提供了一個計算公式，但不會進行計算。鑒于:

M =

a	b	c
d	e	f
g	h	我

M^-1 =

一

檢測器（M）

A	B	C
D	E	F
G	H	我

一

檢測器（M）

A	D	G
B	E	H
C	F	我

其中:

A= ei-FH； B=-（di-fg）； C=dh-eg D=-（bi-ch）； E= ai-CG； F=-（ah-BG） G= BF-ce； H=-（af-CD）；我=ae-bd

4 × 4 越來越復雜，還有其他方法來計算它們。