標準偏差計算器
請提供用逗號分隔的數字來計算標準偏差、方差、平均值、總和以及誤差幅度。
統計中的標準偏差，通常用表示 σ是對一組數據中的值之間的差異或離散度（指分布的拉伸或壓縮程度）的度量。標準偏差越低，數據點越接近平均值（或期望值）， & mu。相反，標準偏差越大，數值范圍越大。與其他數學和統計概念類似，有許多不同的情況可以使用標準差，因此有許多不同的方程。除了表示總體可變性之外，標準差還經常用于測量統計結果，例如誤差幅度。當以這種方式使用時，標準差通常被稱為平均值的標準誤差，或關于平均值的估計值的標準誤差。上面的計算器計算總體標準偏差和樣本標準偏差，以及 置信區間 近似值。
總體標準差
人口標準差的標準定義 σ當可以測量整個總體時使用，它是給定數據集方差的平方根。在可以對總體中的每個成員進行抽樣的情況下，可以使用以下等式來計算整個總體的標準差:
| 在哪里
x我 是一個單獨的值 & mu 是平均值/期望值 普通 是值的總數 |
對于那些不熟悉求和符號的人來說，上面的等式可能會讓人望而生畏，但當通過其各個組成部分進行處理時，這種求和并不特別復雜。這 i=1 在總和中指示起始索引，即數據集1、3、4、7、8， i=1 會是1， i=2 應該是3，以此類推。因此，求和符號僅僅意味著執行以下運算 (十我 -& mu；)2 在每個值上通過 普通，在本例中為5，因為該數據集中有5個值。
EX:& mu；= (1+3+4+7+8) / 5 = 4.6
σ= & radic；[(1 - 4.6)2 + (3 - 4.6)2 +...+ (8 - 4.6)2)]/5
σ= & radic；(12.96 + 2.56 + 0.36 + 5.76 + 11.56)/5 = 2.577
樣品標準偏差
在許多情況下，不可能對群體中的每個成員進行抽樣，因此需要修改上述方程，以便可以通過被研究群體的隨機樣本來測量標準偏差。的通用估計量 σ 是樣本標準偏差，通常用表示 s。值得注意的是，存在許多不同的公式來計算樣本標準差，因為與樣本均值不同，樣本標準差沒有任何無偏、有效且具有最大似然性的單一估計量。下面提供的等式是“校正后的樣本標準偏差”它是通過使用修改總體標準差方程而獲得的方程的修正版本 樣本量 作為人口的大小，這消除了等式中的一些偏差。然而，標準差的無偏估計是高度復雜的，并且根據分布而變化。因此，“校正樣本標準差”是最常用的總體標準差估計值，通常簡稱為“樣本標準差”。這是一個比未修正版本好得多的估計值，但對于小樣本量（N<10).
| 在哪里
x我 是一個樣本值 x̄ 樣本是平均值嗎 普通 是樣本量 |
有關如何使用求和的示例，請參考“總體標準差”一節。除了校正樣本偏差方程中的N-1項和樣本值的使用外，該方程基本相同。
標準差的應用
標準差廣泛用于實驗和工業環境中，以根據真實世界的數據測試模型。工業應用中的一個例子是某些產品的質量控制。標準偏差可用于計算最小和最大值，在該值范圍內，產品的某些方面在一定時間內會出現較高的百分比。如果數值超出計算范圍，可能需要對生產過程進行更改以確保質量控制。
標準差也用于天氣，以確定地區氣候的差異。想象一下兩個城市，一個在沿海地區，一個在內陸地區，平均溫度都是75華氏度。雖然這可能會促使人們相信這兩個城市的溫度實際上是相同的，但如果只處理平均值而忽略標準偏差，現實可能會被掩蓋。由于大面積水體的調節作用，沿海城市的溫度往往穩定得多，因為水的熱容量高于陸地；從本質上講，這使得水更不容易受到溫度變化的影響，并且由于改變水溫所需的能量，沿海地區在冬季保持溫暖，在夏季保持涼爽。因此，沿海城市在一段時間內的平均溫度可能在60華氏度到85華氏度之間，而內陸城市的平均溫度可能在30華氏度到110華氏度之間f得出相同的平均值。
標準差被大量使用的另一個領域是金融，它通常用于衡量某些資產或資產組合價格波動的相關風險。在這些情況下使用標準差提供了對給定投資的未來回報的不確定性的估計。例如，在將平均回報率為7%且標準差為10%的股票A與平均回報率相同但標準差為50%的股票B進行比較時，第一只股票顯然是更安全的選擇，因為對于完全相同的回報率而言，股票B的標準差要大得多。這并不是說，在這種情況下，股票A肯定是更好的投資選擇，因為標準差可能會使均值向兩個方向傾斜。雖然股票A的平均回報率更有可能接近7%，但股票B可能會提供更大的回報（或損失）。
這些只是使用標準差的幾個例子，但還有更多的例子。一般來說，當需要知道分布的典型值離平均值有多遠時，計算標準差是很有價值的。
