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概率計算器

兩個事件的概率

找出兩個獨立事件的并集、交集和其他相關概率。

A的概率: 專業術語
B的概率: P(B)

兩個事件的概率求解器

請在下面提供任意兩個值來計算兩個獨立事件的剩余概率。

A的概率: 專業術語
B的概率: P(B)
不發生的概率: p（A’）
B不發生的概率: p（B’）
A和B同時發生的概率: p（A∩B）
A或B或兩者發生的概率: p（A∠B）
A或B發生但不同時發生的概率: p（A & Delta；b)
A和B都不發生的概率: p（（A∪B）‘）

一系列獨立事件的概率

	可能性	重復次數
事件A
事件B

正態分布的概率

使用下面的計算器計算面積 P 以正態分布顯示，以及一系列置信水平的置信區間。

平均值:（）
標準偏差（σ）:
向左（Lb):		對于負無窮大，請使用-inf
右邊界（Rb):		對于正無窮大，使用inf

有關系的

標準偏差計算器 | 樣本量計算器 | 統計計算器

兩個事件的概率

概率是對事件發生可能性的度量。它被量化為一個介于0和1之間的數字，1表示確定性，0表示事件不會發生。由此可見，事件發生的概率越高，該事件就越有可能發生。在最一般的情況下，概率可以從數字上定義為期望結果的數量除以結果的總數。這進一步受到所研究的事件是獨立的、互斥的還是有條件的等因素的影響。所提供的計算器計算事件A或B不發生的概率、事件A和/或事件B不互斥時發生的概率、事件A和事件B都發生的概率以及事件A或事件B發生但不同時發生的概率。

A和B的補集

給定概率 A，由表示 專業術語時，很容易計算補數，或由 專業術語 不會發生， p（A’）。例如，如果， p（A）= 0.65 代表鮑勃不做作業的概率，他的老師薩莉可以如下預測鮑勃做作業的概率:

P（A’）= 1-P（A）= 1-0.65 = 0.35

因此，在這種情況下，Bob有35%的概率完成作業。任何的 p（B’） 會以同樣的方式計算，值得注意的是，在計算器上面，可以獨立；即如果 P（A）= 0.65 不一定要相等 0.35，并且可以相等 0.30 或者其他數字。

A和B的交集

事件的交集 A 和 B，寫為 p（A∩B） 或者 p（A和B） 是至少兩個事件的聯合概率，如下文維恩圖所示。在以下情況下 A 和 B 是相互排斥的事件， p（A∩B）= 0。考慮在骰子的一次滾動中擲出4和6的概率；這是不可能的。因此，這些事件被認為是相互排斥的。計算 p（A∩B） 如果事件是獨立的，就很簡單。在這種情況下，事件的概率 A 和 B 成倍增加。要計算兩次獨立擲骰子每次結果為6的概率:

所提供的計算器考慮了概率獨立的情況。當事件相互依賴時，計算概率會稍微復雜一些，需要理解條件概率或事件的概率 A 鑒于這一事件 B 已經發生， p（A | B）。以一袋10顆彈珠為例，其中7顆是黑色的，3顆是藍色的。如果藍色彈珠被取出而沒有替換，計算抽到黑色彈珠的概率（藍色彈珠從袋中取出，減少袋中彈珠的總數）:

畫藍色彈珠的概率:

p（A）= 3/10

畫出黑色大理石的概率:

p（B）= 7/10

假設畫了一顆藍色的彈珠，畫出一顆黑色彈珠的概率:

p（B | A）= 7/9

可以看出，畫出黑色彈珠的概率受到先前畫出黑色或藍色彈珠而沒有替換的任何事件的影響。因此，如果一個人想確定從袋子中取出一個藍色然后是黑色的彈珠的概率:

使用上面計算的概率繪制藍色和黑色大理石的概率:

P（A∩B）= P（A）×P（B | A）=（3/10）×（7/9）= 0.2333

A和B的并集

在概率上，事件的聯合， 阿不都，本質上涉及任何或所有被考慮的事件發生的條件，如下面的文氏圖所示。注意到 阿不都 也可以寫成 p（A或B）。在這種情況下，使用了“包含或”。這意味著盡管union中至少有一個條件必須為真，但所有條件可以同時為真。事件的聯合有兩種情況；這些事件要么相互排斥，要么不相互排斥。在事件相互排斥的情況下，概率的計算更簡單:

互斥事件的一個基本示例是擲骰子，其中事件 A 是擲出偶數的概率 B 是擲出奇數的概率。在這種情況下很明顯，事件是互斥的，因為一個數不能既是偶數又是奇數，所以 阿不都 會是 3/6 + 3/6 = 1因為標準骰子只有奇數和偶數。

上面的計算器計算另一種情況，即事件 A 和 B 并不相互排斥。在這種情況下:

P（A U B）= P（A）+P（B）-P（A∩B）

再次使用擲骰子的例子，找出擲出偶數或3的倍數的概率。這里集合由骰子的6個值表示，寫為:

	S = {1，2，3，4，5，6}
偶數的概率:	p（A）= { 2，4，6} = 3/6
3的倍數的概率:	p（B）= { 3，6} = 2/6
A和B的交點:	p（A∩B）= { 6 } = 1/6
	p（A U B）= 3/6+2/6-1/6 = 2/3

A和B的異或運算

上面的計算器計算的另一種可能的情況是 p（A異或B），如下面的維恩圖所示。“異或”操作被定義為A或B發生但不是同時發生的事件。方程式如下:

舉個例子，想象今天是萬圣節，兩桶糖果放在房子外面，一桶裝著士力架，另一桶裝著里斯的。多個閃爍的霓虹燈被放置在糖果桶周圍，堅持每個不給糖就搗蛋的人只能拿一個士力架或里斯的，但不能兩個都拿！然而，不可能每個孩子都遵守閃爍的霓虹燈標志。假設里斯有可能被選為 p（A）= 0.65，或者選擇士力架 p（B）= 0.349，和一個 p（不太可能）= 0.001 如果一個孩子在考慮潛在的未來蛀牙的危害時保持克制，請計算選擇士力架或里斯牌的概率，但不能兩者都選:

0.65 + 0.349 - 2 × 0.65 × 0.349 = 0.999 - 0.4537 = 0.5453

因此，有54.53%的概率選擇士力架或里斯的，但不能兩者都選。

正態分布

正態分布或高斯分布是遵循以下函數的連續概率分布:

在哪里 & mu 是平均和 σ² 是方差。注意到 標準偏差 通常表示為 σ。此外，在特殊情況下 & mu= 0 和 σ = 1這種分布稱為標準正態分布。上圖和計算器一起是典型的正態分布曲線。

正態分布通常用于描述和逼近任何傾向于聚集在平均值周圍的變量，例如，大學男生的身高、樹上的葉子大小、考試分數等。使用上面的“正態分布”計算器確定正態分布位于兩個給定值之間的事件的概率（即 P 在上圖中）；例如，在大學里，男生身高的概率在5到6英尺之間。發現 P 如上圖所示，包括通過減去給定的平均值并除以標準偏差將兩個期望值標準化為Z得分，以及使用Z表來查找Z的概率。例如，如果希望查找大學學生身高在60英寸和72英寸之間的概率，給定平均身高為68英寸且標準偏差為4英寸，則60和72英寸將被標準化為:

考慮到 & mu = 68; σ = 4
(60 - 68)/4 = -8/4 = -2
(72 - 68)/4 = 4/4 = 1

上圖顯示了正態分布中的感興趣區域。為了確定圖表陰影區域所代表的概率，請使用頁面底部提供的標準正態Z表。請注意，有不同類型的標準法線Z表。下表提供了統計值介于0和Z之間的概率，其中0是標準正態分布的平均值。還有提供Z左側或右側概率的Z表，這兩個表都可以用于通過減去相關值來計算所需的概率。

對于此示例，要確定0和2之間的值的概率，請在表的第一列中找到2，因為此表根據定義提供了平均值（在標準正態分布中為0）和選擇數量之間的概率，在本例中為2。請注意，由于所討論的值是2.0，因此通過將2行與0列對齊并讀取其中的值來讀取該表。相反，如果所討論的值是2.11，則2.1行將與0.01列匹配，值將是0.48257。此外，請注意，即使圖中的實際值為-2，該表也只提供了正值。由于正態分布是對稱的，因此只有位移是重要的，0到-2或0到2的位移是相同的，并且在曲線下具有相同的面積。因此，值落在0和2之間的概率是0.47725， 而0和1之間的值的概率為0.34134。由于所需面積介于-2和1之間，因此將概率相加得出0.81859，即大約81.859%。回到示例，這意味著在這種情況下，給定大學的男生身高在60至72英寸之間的概率為81.859%。

計算器還提供了各種置信水平的置信區間表。請參考 比例樣本量計算器 有關置信區間和水平的更詳細說明。簡而言之，置信區間是一種估計總體參數的方法，它提供參數的區間而不是單個值。置信區間總是由置信水平限定，通常用百分比表示，如95%。它是估計可靠性的指標。

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