O arranjo e a combinação fazem parte do ramo da matemática da composição, que envolve o estudo de estruturas discretas limitadas. A disposição é uma seleção específica de um conjunto de elementos, onde a ordem de disposição dos elementos é importante, enquanto a composição envolve a seleção dos elementos sem considerar a ordem. Por exemplo, um bloqueio de senha típico, de acordo com os padrões matemáticos, deve ser tecnicamente chamado de bloqueio de alinhamento, porque a ordem em que os números são inseridos é importante; 1-2-9 é diferente de 2-9-1, e para a combinação, qualquer ordem desses três números é suficiente. Existem diferentes tipos de arranjos e combinações, mas a calculadora acima leva em consideração apenas a ausência de substituição, também conhecida como ausência de duplicação. Isso significa que, para o exemplo de bloqueio de senha acima, a calculadora não calcula os casos em que o bloqueio de senha pode ter um valor duplicado, como 3-3-3.
alinhamento
A calculadora fornecida para calcular um dos conceitos mais típicos de alocação, em que um número fixo de elementos são alinhados R emde uma determinada coleção. N emSenhoras e senhores. Basicamente, isso pode ser chamado de N ou substituição parcial de r-substituiçãoexpressa como N emP emR emSenhoras e senhores N emP emR emSenhoras e senhores P em(nome, termo), ou P (n, r) entre outras coisas. Na ausência de uma disposição de substituição, todas as maneiras possíveis de listar os elementos em uma coleção em uma ordem específica podem ser consideradas, mas cada vez que um elemento é selecionado, o número de seleções diminui, ao invés de um bloqueio "combinação", onde um valor pode aparecer várias vezes, por exemplo, 3-3-3. Por exemplo, ao tentar determinar o número de maneiras pelas quais um capitão e um goleiro de uma equipe de futebol podem ser escolhidos de uma equipe de 11 membros, o capitão e o goleiro não podem ser a mesma pessoa, e uma vez que um capitão e um goleiro são selecionados, eles devem ser removidos do grupo. aquelas cartas. A em through K Os 11 membros diferentes da equipe serão representados:
Membros de A B C D E F G H I J K 11; A é eleito capitão.
B C D E F G H I J K 10 membros; B é escolhido para o goleiro.
Como você pode ver, a primeira opção é A em Tornou-se o capitão dos 11 membros originais, mas desde então A em Não se pode ser capitão e goleiro. A em Expulsão antes da segunda escolha do goleiro B em podem ser fabricados. Se você especificar a posição de cada membro da equipe, a probabilidade total é de 11 × 10 × 9 × 8 × 7 ×... × 2 × 1, ou 11 vezes, escrever como 11! Senhoras e senhores. No entanto, como apenas o capitão e o goleiro são importantes neste caso, apenas as duas primeiras opções 11 × 10 = 110 são relevantes. Assim, a equação usada para calcular a disposição remove os elementos restantes, ou seja, 9 × 8 × 7 ×... × 2 × 1, ou 9! Senhoras e senhores. Assim, a equação geral da substituição pode ser escrita como:
N emP emR em =
N!
(n-r) !
Ou, nesse caso:
11P em2 =
11!
(11-2).
=
11!
9 !
= 11 × 10 = 110
Da mesma forma, a calculadora fornecida não calcula a disposição de substituição, mas, por curiosidade, a fórmula é a seguinte:
N emP emR em = NR em
combinação
Combinações estão relacionadas à disposição porque essencialmente eliminam todas as disposições redundantes (descritas abaixo), porque a ordem dentro da combinação não é importante. Como a disposição, as combinações podem ser representadas de várias maneiras, incluindo N emC emR emSenhoras e senhores N emC emR emSenhoras e senhores C em(nome, termo), ou C (n, r)Ou o mais simples.
(Não
N em
)
R em
Senhoras e senhores. Tal como acontece com a disposição, a calculadora fornecida considera apenas as combinações sem substituição e não discute as combinações com substituição. Mais uma vez, com o exemplo da equipe de futebol, descubra como escolher 2 atacantes de uma equipe de 11 pessoas. Ao contrário do caso em que o capitão é escolhido primeiro e o goleiro é escolhido no exemplo de alinhamento, a ordem na qual os atacantes são selecionados não importa, pois eles são todos atacantes. Mais uma vez, as cartas da equipe de futebol A em through K, it does not matter whether A em and then B em ou B em and then A em are chosen to be strikers in those respective orders, only that they are chosen. The possible number of arrangements for all N em people, is simply N!, as described in the permutations section. To determine the number of combinations, it is necessary to remove the redundancies from the total number of permutations (110 from the previous example in the permutations section) by dividing the redundancies, which in this case is 2!. Again, this is because order no longer matters, so the permutation equation needs to be reduced by the number of ways the players can be chosen, A em e depois B em ou B em e depois A emOu dois, ou dois! Senhoras e senhores. Isso resulta em uma fórmula comum para a combinação, ou seja, uma fórmula que divide os números por redundância, geralmente chamada de coeficiente binomial:
N emC emR em =
N!
R! × (n-r)
Ou, nesse caso:
11C em2 =
11!
2 ! × (11 - 2)!
=
11!
2 ! × 9!
= 55
A escolha de combinações é menos do que a disposição faz sentido porque a redundância é removida. Por curiosidade, a seguinte equação para combinações de substituição é fornecida:
