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概率计算器

两个事件的概率

找出两个独立事件的并集、交集和其他相关概率。

A的概率: 专业术语
B的概率: P(B)

两个事件的概率求解器

请在下面提供任意两个值来计算两个独立事件的剩余概率。

A的概率: 专业术语
B的概率: P(B)
不发生的概率: p（A’）
B不发生的概率: p（B’）
A和B同时发生的概率: p（A∩B）
A或B或两者发生的概率: p（A∠B）
A或B发生但不同时发生的概率: p（A & Delta；b)
A和B都不发生的概率: p（（A∪B）‘）

一系列独立事件的概率

	可能性	重复次数
事件A
事件B

正态分布的概率

使用下面的计算器计算面积 P 以正态分布显示，以及一系列置信水平的置信区间。

平均值:（）
标准偏差（σ）:
向左（Lb):		对于负无穷大，请使用-inf
右边界（Rb):		对于正无穷大，使用inf

有关系的

标准偏差计算器 | 样本量计算器 | 统计计算器

两个事件的概率

概率是对事件发生可能性的度量。它被量化为一个介于0和1之间的数字，1表示确定性，0表示事件不会发生。由此可见，事件发生的概率越高，该事件就越有可能发生。在最一般的情况下，概率可以从数字上定义为期望结果的数量除以结果的总数。这进一步受到所研究的事件是独立的、互斥的还是有条件的等因素的影响。所提供的计算器计算事件A或B不发生的概率、事件A和/或事件B不互斥时发生的概率、事件A和事件B都发生的概率以及事件A或事件B发生但不同时发生的概率。

A和B的补集

给定概率 A，由表示 专业术语时，很容易计算补数，或由 专业术语 不会发生， p（A’）。例如，如果， p（A）= 0.65 代表鲍勃不做作业的概率，他的老师萨莉可以如下预测鲍勃做作业的概率:

P（A’）= 1-P（A）= 1-0.65 = 0.35

因此，在这种情况下，Bob有35%的概率完成作业。任何的 p（B’） 会以同样的方式计算，值得注意的是，在计算器上面，可以独立；即如果 P（A）= 0.65 不一定要相等 0.35，并且可以相等 0.30 或者其他数字。

A和B的交集

事件的交集 A 和 B，写为 p（A∩B） 或者 p（A和B） 是至少两个事件的联合概率，如下文维恩图所示。在以下情况下 A 和 B 是相互排斥的事件， p（A∩B）= 0。考虑在骰子的一次滚动中掷出4和6的概率；这是不可能的。因此，这些事件被认为是相互排斥的。计算 p（A∩B） 如果事件是独立的，就很简单。在这种情况下，事件的概率 A 和 B 成倍增加。要计算两次独立掷骰子每次结果为6的概率:

所提供的计算器考虑了概率独立的情况。当事件相互依赖时，计算概率会稍微复杂一些，需要理解条件概率或事件的概率 A 鉴于这一事件 B 已经发生， p（A | B）。以一袋10颗弹珠为例，其中7颗是黑色的，3颗是蓝色的。如果蓝色弹珠被取出而没有替换，计算抽到黑色弹珠的概率（蓝色弹珠从袋中取出，减少袋中弹珠的总数）:

画蓝色弹珠的概率:

p（A）= 3/10

画出黑色大理石的概率:

p（B）= 7/10

假设画了一颗蓝色的弹珠，画出一颗黑色弹珠的概率:

p（B | A）= 7/9

可以看出，画出黑色弹珠的概率受到先前画出黑色或蓝色弹珠而没有替换的任何事件的影响。因此，如果一个人想确定从袋子中取出一个蓝色然后是黑色的弹珠的概率:

使用上面计算的概率绘制蓝色和黑色大理石的概率:

P（A∩B）= P（A）×P（B | A）=（3/10）×（7/9）= 0.2333

A和B的并集

在概率上，事件的联合， 阿不都，本质上涉及任何或所有被考虑的事件发生的条件，如下面的文氏图所示。注意到 阿不都 也可以写成 p（A或B）。在这种情况下，使用了“包含或”。这意味着尽管union中至少有一个条件必须为真，但所有条件可以同时为真。事件的联合有两种情况；这些事件要么相互排斥，要么不相互排斥。在事件相互排斥的情况下，概率的计算更简单:

互斥事件的一个基本示例是掷骰子，其中事件 A 是掷出偶数的概率 B 是掷出奇数的概率。在这种情况下很明显，事件是互斥的，因为一个数不能既是偶数又是奇数，所以 阿不都 会是 3/6 + 3/6 = 1因为标准骰子只有奇数和偶数。

上面的计算器计算另一种情况，即事件 A 和 B 并不相互排斥。在这种情况下:

P（A U B）= P（A）+P（B）-P（A∩B）

再次使用掷骰子的例子，找出掷出偶数或3的倍数的概率。这里集合由骰子的6个值表示，写为:

	S = {1，2，3，4，5，6}
偶数的概率:	p（A）= { 2，4，6} = 3/6
3的倍数的概率:	p（B）= { 3，6} = 2/6
A和B的交点:	p（A∩B）= { 6 } = 1/6
	p（A U B）= 3/6+2/6-1/6 = 2/3

A和B的异或运算

上面的计算器计算的另一种可能的情况是 p（A异或B），如下面的维恩图所示。“异或”操作被定义为A或B发生但不是同时发生的事件。方程式如下:

举个例子，想象今天是万圣节，两桶糖果放在房子外面，一桶装着士力架，另一桶装着里斯的。多个闪烁的霓虹灯被放置在糖果桶周围，坚持每个不给糖就捣蛋的人只能拿一个士力架或里斯的，但不能两个都拿！然而，不可能每个孩子都遵守闪烁的霓虹灯标志。假设里斯有可能被选为 p（A）= 0.65，或者选择士力架 p（B）= 0.349，和一个 p（不太可能）= 0.001 如果一个孩子在考虑潜在的未来蛀牙的危害时保持克制，请计算选择士力架或里斯牌的概率，但不能两者都选:

0.65 + 0.349 - 2 × 0.65 × 0.349 = 0.999 - 0.4537 = 0.5453

因此，有54.53%的概率选择士力架或里斯的，但不能两者都选。

正态分布

正态分布或高斯分布是遵循以下函数的连续概率分布:

在哪里 & mu 是平均和 σ² 是方差。注意到 标准偏差 通常表示为 σ。此外，在特殊情况下 & mu= 0 和 σ = 1这种分布称为标准正态分布。上图和计算器一起是典型的正态分布曲线。

正态分布通常用于描述和逼近任何倾向于聚集在平均值周围的变量，例如，大学男生的身高、树上的叶子大小、考试分数等。使用上面的“正态分布”计算器确定正态分布位于两个给定值之间的事件的概率（即 P 在上图中）；例如，在大学里，男生身高的概率在5到6英尺之间。发现 P 如上图所示，包括通过减去给定的平均值并除以标准偏差将两个期望值标准化为Z得分，以及使用Z表来查找Z的概率。例如，如果希望查找大学学生身高在60英寸和72英寸之间的概率，给定平均身高为68英寸且标准偏差为4英寸，则60和72英寸将被标准化为:

考虑到 & mu = 68; σ = 4
(60 - 68)/4 = -8/4 = -2
(72 - 68)/4 = 4/4 = 1

上图显示了正态分布中的感兴趣区域。为了确定图表阴影区域所代表的概率，请使用页面底部提供的标准正态Z表。请注意，有不同类型的标准法线Z表。下表提供了统计值介于0和Z之间的概率，其中0是标准正态分布的平均值。还有提供Z左侧或右侧概率的Z表，这两个表都可以用于通过减去相关值来计算所需的概率。

对于此示例，要确定0和2之间的值的概率，请在表的第一列中找到2，因为此表根据定义提供了平均值（在标准正态分布中为0）和选择数量之间的概率，在本例中为2。请注意，由于所讨论的值是2.0，因此通过将2行与0列对齐并读取其中的值来读取该表。相反，如果所讨论的值是2.11，则2.1行将与0.01列匹配，值将是0.48257。此外，请注意，即使图中的实际值为-2，该表也只提供了正值。由于正态分布是对称的，因此只有位移是重要的，0到-2或0到2的位移是相同的，并且在曲线下具有相同的面积。因此，值落在0和2之间的概率是0.47725， 而0和1之间的值的概率为0.34134。由于所需面积介于-2和1之间，因此将概率相加得出0.81859，即大约81.859%。回到示例，这意味着在这种情况下，给定大学的男生身高在60至72英寸之间的概率为81.859%。

计算器还提供了各种置信水平的置信区间表。请参考 比例样本量计算器 有关置信区间和水平的更详细说明。简而言之，置信区间是一种估计总体参数的方法，它提供参数的区间而不是单个值。置信区间总是由置信水平限定，通常用百分比表示，如95%。它是估计可靠性的指标。

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