الترتيب والتركيب هو جزء من فرع الرياضيات من علم التركيب الذي ينطوي على دراسة هياكل منفصلة محدودة. الترتيب هو اختيار محدد لمجموعة من العناصر ، حيث يكون ترتيب العناصر مهمًا ، في حين أن التركيب ينطوي على اختيار العناصر بغض النظر عن الترتيب. على سبيل المثال ، يجب أن يطلق على قفل تشفير نموذجي ، وفقًا للمعايير الرياضية ، تقنيًا اسم قفل ترتيب ، لأن ترتيب الأرقام في إدخالها مهم ؛ 1-2-9 يختلف عن 2-9-1 ، وبالنسبة للتركيبة ، فإن أي ترتيب من هذه الأرقام الثلاثة يكفي. هناك أنواع مختلفة من الترتيب والمجموعات ، ولكن الآلة الحاسبة أعلاه تأخذ في الاعتبار فقط حالة عدم وجود استبدال ، والمعروفة أيضًا باسم عدم وجود تكرار. وهذا يعني أنه بالنسبة إلى مثال قفل كلمة المرور أعلاه ، لا تقوم الآلة الحاسبة بحساب الحالات التي قد يكون فيها قفل كلمة المرور قيمة مكررة ، على سبيل المثال 3-3-3.
ترتيب
الحاسبة المقدمة لحساب واحد من المفاهيم الأكثر نموذجية ترتيب، حيث يتم ترتيب عدد ثابت من العناصر rمن مجموعة معينة. N. في الأساس يمكن أن يسمى n أو استبدال جزئي لـ rوأشار إلى أنه NPr، NPr، P(مصطلح، مصطلح)أو أو P(n,r) ومن بين أمور أخرى. في حالة عدم وجود ترتيب بديل ، من الممكن النظر في جميع الطرق الممكنة لإدراج العناصر في المجموعة بترتيب معين ، ولكن في كل مرة يتم فيها تحديد عنصر واحد ، يتم تقليل عدد الخيارات ، بدلاً من القفل "مزيج" ، حيث يمكن أن تظهر القيمة عدة مرات ، على سبيل المثال 3-3-3. على سبيل المثال ، عند محاولة تحديد عدد الطرق التي يمكن أن يختار بها كابتن و حارس مرمى فريق كرة القدم من فريق مكون من 11 عضوًا ، لا يمكن أن يكون كابتن و حارس مرمى نفس الشخص ، وبمجرد اختيارهم ، يجب إزالتهم من المجموعة. تلك الرسائل أ تمر عبر k سيتم تمثيل 11 عضوًا مختلفًا من الفريق:
11 عضواً؛ تم انتخابه كقائد.
B C D E F G H I J K 10 أعضاء؛ ب تم اختياره حارس مرمى
كما ترون، الخيار الأول هو أ أصبح كابتنًا من أعضاء 11 الأصليين ، ولكن منذ أ لا يمكن أن تكون قائدًا وحارسًا. أ طرد حارس مرمى قبل اختياره للمرة الثانية ب يمكن تصنيعها. إذا قمت بتحديد موقع كل عضو في الفريق ، فإن الاحتمالات الإجمالية هي 11 × 10 × 9 × 8 × 7 ×... × 2 × 1 ، أو 11 مضاعفة ، مكتوبة 11! . ومع ذلك ، نظرًا لأن القبطان وحارس المرمى فقط مهمين في هذه الحالة ، فإن أول اثنين فقط من الخيارات 11 × 10 = 110 هي ذات صلة. وبالتالي ، فإن المعادلة المستخدمة لحساب الترتيب ستزيل العناصر المتبقية ، أي 9 × 8 × 7 × ... × 2 × 1 ، أو 9! . وبالتالي ، يمكن كتابة المعادلة العامة للبديل على النحو التالي:
NPr =
N!
( n - r ) .
أو في هذه الحالة:
11P2 =
11!
(11 - 2)!
=
11!
9!
= 11 × 10 = 110
وبالمثل ، فإن الآلة الحاسبة المقدمة لا تحسب ترتيب الاستبدال ، ولكن من أجل الفضول ، الصيغة هي كما يلي:
NPr = nr
مزيج
ترتبط المجموعات بالترتيب لأنها تقوم بشكل أساسي بإزالة جميع ترتيب التكرار (كما هو موضح أدناه) لأن ترتيب المجموعات لا يهم. مثل الترتيب ، هناك العديد من التعبير عن المجموعات ، بما في ذلك NCr، NCr، C(مصطلح، مصطلح)أو أو C ( n, r )أو الأبسط الأكثر شيوعا.
(
N
)
r
. كما هو الحال مع الترتيب ، فإن الآلة الحاسبة المقدمة تأخذ في الاعتبار فقط تركيبات دون استبدال ، ولا تناقش تركيبات مع استبدال. مرة أخرى ، أخذ فريق كرة القدم كمثال ، ومعرفة كيفية اختيار مهاجمين 2 من بين فرق 11 شخصًا. على عكس الحالة التي يتم فيها اختيار القبطان أولاً ثم حارس المرمى في مثال الترتيب ، لا يهم الترتيب الذي يتم فيه اختيار المهاجمين لأنهم جميعاً مهاجمين. ذكر مرة أخرى لرسائل فريق كرة القدم أ تمر عبر kإذا كان ، لا يهم. أ ثم ب أو ب ثم أ في ترتيب كل منهما تم اختيارهم كمهاجمين، ولكن تم اختيارهم. العدد الممكن لجميع الترتيبات N الإنسان هو ببساطة N!كما هو موضح في القسم. لتحديد عدد المجموعات ، يجب إزالة التكرار من العدد الإجمالي للترتيب عن طريق تقسيم التكرار (110 في المثال السابق لقسم الترتيب) ، في هذه الحالة 2! . مرة أخرى ، هذا لأن الترتيب لم يعد مهمًا ، لذلك تحتاج معادلات الترتيب إلى تقليل عدد الطرق التي يمكن للاعب اختيارها ، أ ثم ب أو ب ثم أ2 أو 2! . سيؤدي ذلك إلى صيغة عامة للجمع، أي الصيغة التي تقسمها بالأرقام المتكررة، والتي يشار إليها عادة باسم معامل ثنائي:
NCr =
N!
r! × (n-r)
أو في هذه الحالة:
11C2 =
11!
2 ! × (11 - 2)!
=
11!
2 ! × 9!
= 55
من المنطقي أن تكون خيارات الجمع أقل من الترتيب ، حيث يتم إزالة التكرار. من أجل الفضول ، توفر المعادلة التالية لمجموعات الاستبدال:
