Anordnungen und Kombinationen sind Teil eines Zweigs der Mathematik, der das Studium begrenzter diskrete Strukturen beinhaltet. Die Anordnung ist eine spezifische Auswahl einer Gruppe von Elementen, in der die Reihenfolge der Anordnung der Elemente wichtig ist, während die Kombination die Auswahl der Elemente unabhängig von der Reihenfolge beinhaltet. Zum Beispiel sollte ein typisches Verschlüsselungsschloss, nach mathematischen Kriterien, technisch als Locking-Sperre bezeichnet werden, da die Reihenfolge der Eingabe von Zahlen wichtig ist; 1-2-9 unterscheidet sich von 2-9-1, und für die Kombination ist eine beliebige Reihenfolge dieser drei Zahlen ausreichend. Es gibt verschiedene Arten von Anordnungen und Kombinationen, aber der obige Rechner berücksichtigt nur die Fälle, in denen es keine Ersetzung gibt, auch bekannt als keine Duplikate. Dies bedeutet, dass für das obige Beispiel für das Verschlüsselungsverfahren der Rechner keine Situationen berechnet, in denen das Verschlüsselungsverfahren einen doppelten Wert haben könnte, z. B. 3-3-3.
anordnen
Der Rechner berechnet eine der typischsten Anordnungskonzepte, in denen eine feste Anzahl von Elementen angeordnet Die Raus der gegebenen Sammlung. Der N. Im Grunde kann man das als n oder teilweise ersetzte r-AustauschAusgedrückt als Der Nund PDie R, Der Nund PDie R, und P(Bezeichnung, Begriff), oder p(n, r) unter anderem. Wenn es keine Ersatzanordnung gibt, können Sie alle möglichen Möglichkeiten zur Auflistung der Elemente in einer Sammlung in einer bestimmten Reihenfolge in Betracht ziehen, aber die Anzahl der ausgewählten Elemente verringert sich jedes Mal, wenn ein Element ausgewählt wird, und nicht wie bei "Kombinations" -Sperren, bei denen ein Wert mehrmals erscheinen kann, z. B. 3-3-3. Zum Beispiel, wenn Sie versuchen, festzustellen, wie viele Kapitän und Torhüter einer Fußballmannschaft aus einer 11-köpfigen Mannschaft auswählen können, können Kapitän und Torhüter nicht die gleiche Person sein und müssen, sobald Kapitän und Torhüter ausgewählt sind, aus dieser Gruppe entfernt werden. Die Briefe. und A durchqueren. Der K 11 verschiedene Mitglieder des Teams werden vertreten:
11 Mitglieder; A wurde zum Kapitän gewählt.
B C D E F G H I J K 10 Mitglieder; B wird zum Torhüter gewählt
Wie Sie sehen können, ist die erste Option und A Er wurde der Kapitän der ursprünglichen 11 Mitglieder, aber seit und A Man kann nicht gleichzeitig Kapitän und Torhüter sein. und A vor der zweiten Wahl des Torhüters ausgeschlossen. B nach herzustellen können. Wenn Sie die Position jedes Teammitglieds angeben, beträgt die Gesamtwahrscheinlichkeit 11 × 10 × 9 × 8 × 7 ×... × 2 × 1 oder 11-fache, geschrieben als 11! . Da in diesem Fall jedoch nur der Kapitän und der Torhüter wichtig sind, sind nur die ersten beiden Optionen 11 × 10 = 110 relevant. Die Gleichung, die zur Berechnung der Anordnung verwendet wird, entfernt daher die verbleibenden Elemente, d. h. 9 × 8 × 7 ×... × 2 × 1 oder 9! . Die allgemeine Gleichung der Anordnung kann also geschrieben werden:
Der Nund PDie R =
Der N!
(N - R)
Oder in diesem Fall:
11und P2 =
11!
(11 - 2)!
=
11!
Neun!
= 11 × 10 = 110
In ähnlicher Weise berechnet der angegebene Rechner keine Ersatzanordnung, aber aus Neugier die Formel wie folgt:
Der Nund PDie R = für nDie R
kombiniert
Kombinationen sind mit Anordnungen verbunden, da sie im Wesentlichen alle redundanten Anordnungen entfernen (wie unten beschrieben), da die Reihenfolge in einer Kombination nicht wichtig ist. Wie die Anordnung gibt es eine Reihe von Darstellungen von Kombinationen, einschließlich Der Nund CDie R, Der Nund CDie R, und C(Bezeichnung, Begriff), oder c (n, r)Oder am häufigsten einfach.
(
Der N
)
Die R
. Wie bei der Anordnung berücksichtigt der bereitgestellte Taschenrechner nur Kombinationen ohne Ersatz und diskutiert keine Kombinationen mit Ersatz. Nehmen Sie erneut das Fußballteam als Beispiel, um herauszufinden, wie Sie 2 Stürmer aus einem 11-köpfigen Team auswählen können. Im Gegensatz zu dem Fall, in dem im Anordnungsbeispiel zuerst der Kapitän und dann der Torhüter ausgewählt wird, spielt die Reihenfolge, in der der Stürmer ausgewählt wird, keine Rolle, da sie alle Stürmer sind. Erwähnung der Buchstaben der Fußballmannschaft. und A durchqueren. Der KOb, ist nicht wichtig. und A und dann B nach oder B nach und dann und A In ihren jeweiligen Reihenfolgen wurden als Vorreiter ausgewählt, aber sie wurden ausgewählt. Mögliche Anzahl aller Arrangements Der N Der Mensch ist einfach. Der N!wie im Abschnitt beschrieben. Um die Anzahl der Kombinationen zu bestimmen, müssen Sie die Redundanz durch Teilen der Redundanz aus der Gesamtanzahl der Anordnung (110 im vorherigen Beispiel für die Anordnung) entfernen, in diesem Fall 2! . Auch dies ist, weil die Reihenfolge nicht mehr wichtig ist, so dass die Anordnung der Gleichung die Anzahl der Wege, die der Spieler wählen kann, reduzieren muss, und A und dann B nach oder B nach und dann und AZwei oder zwei! . Dadurch entsteht die allgemeine Formel der Kombination, d. h. die Formel, die durch redundante Zahlen geteilt wird, die allgemein als binomiale Koeffizienten bezeichnet wird:
Der Nund CDie R =
Der N!
R! × (n-r)
Oder in diesem Fall:
11und C2 =
11!
2 ! × (11 - 2)!
=
11!
2 ! × 9!
= 55
Die Auswahl von Kombinationen ist weniger sinnvoll als die Anordnung, da Redundanz entfernt wird. Aus Neugier gibt es folgende Gleichungen für Ersatzkombinationen:
